具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平
面简谐波的波函数，又称波动方程.
第十章 波动
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物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
利用 2π 2πν 和 uT
T
可得波动方程的几种不同形式：
y
A
cos
t
x u
A
cos
2π
t T
x
A cost
2πx
第十章 波动
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10-2 平面简谐波的波函数
O
y
A
第十章 波动
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10-2 平面简谐波的波函数
(2)求 t 1.0s 波形图
y 1.0 cos[2π( t x ) π ]
2.0 2.0 2
y (1.0) cos[π π x]
2
t 1.0s
sin πx (m)
波形方程
y/m
1.0
O
-1.0
t 1.0 s
2.0
x/m
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图.
解 (1) 写出波动方程的标准式
y Acos[2π ( t x ) ] T
第十章 波动
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y Acos[2π ( t x ) ]
T
t0 x0
y 0, v y 0 π
t
2
y cos[2π( t x ) π ] (m) 2.0 2.0 2
时刻波形图
第十章 波动
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10-2 平面简谐波的波函数
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图
y (1.0) cos[2 π( t x ) π] 2.0 2.0 2
x 0.5m 处质点的振动方程
y cos[(π s1)t π] (m)
y
y/m
3
3
1.0
*
4O
2
O 2* 1.0 *4 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
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10-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度 u 20m s-1
沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程；
动落后t x , P 点在 t 时刻的位移是O点在
t t时刻的u 位移，由此得
y A
u
P
x
O
x
A
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10-2 平面简谐波的波函数
yP yO (t Δt) Acosωt Δt φ
A cos
t
x u
由于 P为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动，
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10-2 平面简谐波的波函数
一 平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
yO Acost
y A
u
P
x
O
x
A
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10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
第十章 波动
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10-2 平面简谐波的波函数
例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播，
已知振幅A 1.0m ，T 2.0s， 2.0m. 在 t 0
时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向
运动. 求：(1)波动方程；(2) t 1.0s波形图；
波函数 y Acos[(t x) ]
u
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 t
y
2
2
A cos[ (t
x) u
]
第十章 波动
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10-2 平面简谐波的波函数
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
令 2π x
y Acost 2πx
10-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程
如图，设 O 点振动方程为
yO Acost
P点振动比O点超前了 Δt x u
y
u
A
P
x
O
x
A
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10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
y o
t
t
Acos
t
x u
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握.
y
则 y Acost O
t
表示x点处质点的振动方程（y t 的关系）
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间的周期性）
第十章 波动
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10-2 平面简谐波的波函数
波线上各点的简谐运动图
第十章 波动
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10-2 平面简谐波的波函数
2 令
t
一定
x 变化
t
y Acost
这里的方法与教
uT 10m
材的方法有点不
y Acos[2π ( t x ) ] 一样，但结果化
T
y 3102 cos2π( t
x 简后是一样的。 )
0.5 10
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
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10-2 平面简谐波的波函数
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
法2： B为坐标原点，A为参考点
yA 310 2 cos(4 π t)
任意点的波函数可写为：
y 3102 cos[4π(t x 5)] u
3102 cos[4π(t x 5)] 20
u
8m 5m 9m
C（定值）
2πx
则
y
A cos
2πx
该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点
的位移, 即t 时刻的波形（y x的关系）
y
o
x
第十章 波动
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10-2 平面简谐波的波函数
3 x、 t 都变
方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
yu
O
x
第十章 波动
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(2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
(3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程；
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
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10-2 平面简谐波的波函数
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3102 m T 0.5s 0
法1： yA 310 2 cos(4 π t) A 0
B
A
2π
xB xA
2π
5 10
π
B π B点相位比A点超前
yB 3102 cos[4 π t π]
y 3102 cos[2π( t x ) π] 0.5 10
u
8m 5m 9m
C oB A
Dx
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