"
结果综述： 1、从动量方程和连续性方程可解得速度场： 经过推导，得：
u f ' ( ) u

0

e
1 2

f ( ) d
0
d
=5.0
注：边界层内v0

0

e
1 2

f ( ) d

d

0.99
u 5.0 x
5.0
Re x
x
u
t t t u v a 2 x y y
2
du dp u dx dx du dp 若 0，则 0 3个方程、3个未知量： u、v、t dx dx
对于外掠平板的层流流动:
u const,

u u 2u 动量方程： u v 2 x y y
§5-3 边界层换热微分方程组的解
边界层概念（Boundary layer）： 当粘性流体流过物体表面时，会形成速度梯度很大 的流动边界层；当壁面与流体间有温差时，也会产 生温度梯度很大的温度边界层（或称热边界层） 1904年，德国科学家普朗特 L.Prandtl 一、流动边界层（Velocity boundary layer）
t t w
无量纲温度


动量微分方程与能量微分方程（常微分方程）：
u u u u v 2 x y y
2
t t t u v a 2 x y y
2
1 " f ( ) f ( ) f ( ) 0 2
'"
1 ' ( ) Pr f ( ) ( ) 0 2
边界层区：流体的粘性作用起主导作用，流体的运动 可用粘性流体运动微分方程组描述（N-S方程） 主流区：速度梯度为0，=0；可视为无粘性理想流体； 欧拉方程 ——边界层概念的基本思想
流体外掠平板时的流动边界层 临界距离：由层流边 界层开始向紊流边界 层过渡的距离，xc 临界雷诺数：Rec
惯性力 u xc Rec 粘性力 u xc
小：空气外掠平板，u=10m/s：
x100mm 1.8mm; x200mm 2.5mm
边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大
u 由牛顿粘性定律： y
速度梯度大，粘滞应力大 边界层外： u 在 y 方向不 变化， u/y=0 粘滞应力为零 — 主流区 流场可以划分为两个区：边界层区与主流区
~ O( ); t ~ O( )
x 与 l 相当，即：x ~ l ~ O(1);
0 y y ~ O( )
O(1)、O()表示数量级为1和 ，1>> 。 “~” — 相当于
例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力 u沿边界层厚度由0到u:
由连续性方程： v u u ~ ~ O(1) y x l
四、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述
u v 0 x y
t t t u v a 2 x y y
2
u u u u v 2 x y y
2
t hx t w t y w, x

u v 0 x y
0


e
Pr f ( ) d 2


0
d
u y x
1

0


e
Pr f ( ) d 2


0
d
hx t w t 热边界层厚度随Pr增大而减小
0.99
0.332 Pr1 3 (0.6 Pr 10) 0 t
波 尔 豪 森 （ 1921 ） ：
y y w, x w, x
hx 0.332

x
Re1 2 Pr1 3 ; x
Nu x
hx x

0.332 Re1 2 Pr1 3 x
对长度为 l 的常壁温平板，通过积分可得平均值： 1l 1 2 1 3 Nu hl 0.664 Re1 2 Pr1 3 h hx dx 0.664 Rel Pr ; l l0 l c p Pr — 普朗特数 (Prandtl number) a 流体动量扩散能力与热量扩散能力之比 反映流体物性对换热的影响 hl Nu — 努谢尔特数（Nusslet number） λ tw t f 反映对流换热过程的强度 tm
3 个无量纲变量 （、f()、）:
f ( ) xu
— 流函数 u y ; v x 1 u ' u u f ( ); v f ( ) f ' ( ) y x 2 x
无量纲 流函数

u 无量纲离 y x 壁距离 t ( ) t w
U V 0 X Y 2 U U dP 1 U U V X Y dX Re Y 2
Re — 雷诺数 Reynolds
Pr — 普朗特数 Prandtl
Θ Θ 1 Θ U V X Y Re Pr Y 2
2
U f1 ( X , Y , Re); V f 2 ( X , Y , Re); Θ f 3 ( X , Y , U , V , Re, Pr) f 3 ( X , Y , Re, Pr)
此时动量方程与能量方程的形式完全一致: 2
dp 0 dx
t t t u v a 2 x y y
表明：此情况下动量传递与热量传递规律相似 特别地：对于 = a 的流体（Pr=1），速度场与 无量纲温度场将完全相似 并且 =t
为了分析与计算的方便，可将方程式写成无量纲形式 t tw x y p u v X ; Y ; P 2 ; U ;V ; Θ l l t f tw u u u
由于粘性作用， 流体流速在靠近 壁面处随离壁面 的距离的缩短而 逐渐降低；在贴 壁处被滞止，处 于无滑移状态
从 y=0、u=0 开始，u 随 着 y 方向离壁面距离的 增加而迅速增大；经过 厚度为 的薄层，u 接 近主流速度 u
y = 薄层 — 流动边界层 或速度边界层 — 边界层厚度 定义：u/u=0.99 处离壁的距离为边界层厚度
(3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面处 仍有层流特征，粘性底层（层流底层）
(4) 流场可以划分为边界层区与主流区 边界层区：由粘性流体运动微分方程组描述 主流区：由理想流体运动微分方程—欧拉方程描述
边界层理论的基本论点
边界层概念也可以用于分析其他情况下的流动和换热： 如：流体在管内受迫流动、流体外掠圆管流动、流体在 竖直壁面上的自然对流等
厚度t 范围 — 热边界层 或温度边界层
流动边界层与热边界层的状况决定了热量传递过程 和边界层内的温度分布
层流：温度呈抛物 线分布
紊流：温度呈幂函 数分布
紊流边界层贴壁处的温度梯度明显大于层流
T T y y w,t w, L
u v 0 x y
u ~ u ~ O(1)

v ~ O( )
u u p 2u 2u （u v ) Fx ( 2 2 ) x y x x y v v p 2v 2v （u v ) Fy ( 2 2 ) x y y x y 2t 2t t t c p u v 2 2 x x y y
p ~ O( ) y
u u p u （u v ) 2 x y x y
2
p dp x dx
可视为边界层的又一特性
层流边界层对流换热微分方程组：
u v 0 x y 2 u u 1 dp u u v 2 x y dx y
1 1 （

1
）
（
2

12
） 2
u u p u （u v ) 2 x y x y
2
u v 0 x y
t t t t c（u v ) ( 2 2 ) p x y x y 1 1 2 1 1 1 （1 ） （ 2 ） t 2 1 1
(a)
u u u (b) u v 2 x y y
2
t t t u v a 2 x y y
2
(c)
t (d) hx t w t y w, x

求解的具体过程可参见教科书 p.337附录15 求解的基本方法：引进 3 个无量纲变量 （、f()、） (1) 把偏微分方程 (b)、(c) 转换为常微分方程 (2) 分别求出边界层内的速度场、温度场 (3) 由式 (d) 获得局部表面传热系数 u 无量纲离 3 个无量纲变量 （、f()、）: y x 壁距离 t ( ) t w 无量纲 f ( ) 无量纲温度 t t w xu 流函数
2 2
(d)
t t t c（u v ) 2 p x y y
2
p ~ O( ) y
p ~ O(1) x
表明：边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边 界层内法向的压力梯度极小。 边界层内任一截面压力与 y 无关而等于主流压力

du dp 由上式： u dx dx
故：紊流换热比层流换热强！ 与 t 的关系：分别反映流体分子和流体微团的动量 和热量扩散的深度 Pr 1 3 (层流、 0.6 Pr 50)
t
三、边界层换热微分方程组 边界层概念的引入可使换热微分方程组得以简化 数量级分析：比较方程中各量或各项的量级的相对大 小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项， 方程大大简化 5个基本量的数量级： 主流速度： u ~ O(1); 温度： t ~ O(1); 壁面特征长度：l ~ O(1); 边界层厚度：