高中数学解三角形和平面向量试题一、选择题：1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,030A = , 则B 等于（ B ）A ．60oB ．60o或 120oC ．30oD ．30o或150o2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o，则a 等于（ D ）A ．6B ．2C ．3D ．23．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ）A ．12B ．22C ．32D ．14．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5,22a b A B ==，则cos B =（ B ） A ．53 B ．54 C ．55 D ．565．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．090 B ．060C ．0120D ．01506．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ）A.6π B. 3π C.6π或56πD.3π或23π7. 在△ABC 中，baB A =--cos 1cos 1，则△ABC 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1，ABC S b ∆=则,3等于（ C ）A.2 B.3 C.23D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ）A 、75°B 、60°C 、45°D 、30°10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A.3400米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0120ABC ∠=,则A,C 两地的距离为（ D ）。

A. 10kmB. 103kmC. 105kmD. 107km12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ．21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．12-(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、414．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ）A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ）A 、17B 、18C 、19D 、2016．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r若向量若则的值为 ( B )A ．31-或 B.13-或 C ．3D ． -117. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ）（A ）6π （B ）4π （C ）3π（D ）π125 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是23，则 b a ⋅是（ B ） A 、3 B 、29 C 、2 D 、21 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C )（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°二、填空题：20． ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若26120c b B ===o ，，，则a 等于221．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222120°。

22．在ABC △中，12AB BC ==，，AC =3，则角B= 60o ．23. 在ABC ∆中，AC=2，BC=1，sinC=53，则AB 的长为_5205553或___。

24．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为___4315______． 25. 在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是 等腰三角形或直角三角形 。

26. 已知向量a r =（3，1） ，b r =（1，3），c r =（k ，7）,若（a r - c r ）b r27．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 3-．28.已知10a =r 、12b =r，若a r 与b r 的夹角为120°，则⑴a b ⋅r r =_-60_____； ⑵(32)(4)b a a b -⋅+r r r r=__-968_________.29．若两个向量a r 与b r 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯r r ”为“向量积”，其长度||a b ⨯=r r ||||sin a b θr r，若已知||1,||5,4a b a b ==⋅=-r r r r ，则||____a b ⨯=r r3。

三、解答题：30、已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos 2sin 1B C A ++=且()sin cos ;A A I 求和 ()∏若ABC ∆的面积为4，且2c = ,求a解: ()()cos 2sin 12sin 1cos B C A A A I ++=-=由已知得两边平方并整理得25sin 4sin 0A A -=4sin 0,sin 53cos 2sin 15A A A A ≠∴==-=Q()1sin 4,22 5S bc A c b ∏===∴=Q 根据余弦定理得222cos 17a b c bc A =+-= 31. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==。

（I ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积。

解：（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π==，∴23,sin 35C A A π=-=， ∴231343sin sin cos sin 32210C A A A π+⎛⎫=-=+=⎪⎝⎭. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin ,sin 510A C +==， 又∵,33B b π==，∴在△ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6sin 5b A a B ==. ∴△ABC 的面积1163433693sin 32251050S ab C ++==⨯⨯⨯=. 32．在⊿ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA (Ⅰ) 求AB 的值； (Ⅱ) 求sin 24A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值 （Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，sin sin AB BCC A= 于是sin 225sin CAB BC BC A===（Ⅱ）解：在△ABC 中，根据余弦定理，得22225cos 2AB AC BD A AB AC +-==•于是25sin 1cos 5A A =-=从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55A A A A A A ===-= 所以2sin(2)sin 2coscos 2sin44410A A A πππ-=-=33. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A c a sin 23=。

（1）求角A 的大小；（2）若7=c ，且ABC ∆的面积为233，求a+b 的值。

34．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =． （1）求B 的大小； （2）若ABC ∆3C=2,求a 和b 的值。

解：（1）B R b A R a sin 2,sin 2==Θ且2sin a b A =0030,90021sin sin sin 22sin 2=∴<<=⋅⨯=∴B B B A B R A R Θ即（2）32122130sin 210=⨯⨯==∆a ac S ABC Θ， 32=a 2,4232322412cos 2222=∴=⨯⨯⨯-+=-+=∴b B ac c a b 35.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C ++= （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若a+c=4，求△ABC 面积S 的最大值 解 ：（Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++=，即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++= 得2sin cos sin()0A B B C ++=，因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，得2sin cos sin 0A B A +=，因为sin 0A ≠，32,21cos π=-=B B B 为三角形的内角，所以又所以 （Ⅱ）])2(4[43)4(4332sin )4(21432,sin 2122--=-=-==+==a a a a a S c a B B ac S ππ得及由又04a <<，所以当2a =时，S 336. 已知函数()=sin(+),(>0,0<<)f x x ωϕωϕπ的一系列对应值如下表：x12π-6π 1512π 23π 1112π y1－1（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）在△ABC 中，a b c 、、分别是△ABC 的对边，若1()==2=32f A c a b ，，，求△ABC 的面积.37．海面上相距10海里的A 、B 两船，B 船在A 船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C 岛，C 岛在B 船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C 岛，经测算，A 船行驶了7B 船的速度。

解：设B 船的速度为x 海里/小时，依题意得在ABC ∆中，ABC ∠= 0120,AB=10,AC= 7由余弦定理得 2222AC AB BC AB BC COS ABC =+-⋅⋅∠即2028080100+()210cos120(107)6060x x -⨯⨯⋅=， 解得 x=15 答：B 船的速度为15海里/小时。