实用标准—tanC。

例 1 • (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00, B 81.80因为 00v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160.c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400②当B 1160时,点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积2, AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。

2(2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ，40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确到 1cm ) o解：（1 ）根据三角形内角和定理,C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80)66.20 ；根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80si nA眾厂 80.1(cm)；根据正弦定理，c 聲C丝9也彰 74.1(cm). sin32.0（2 ）根据正弦定理,s"B 舸 A 28sin4°0a200.8999.,a 42.9 cm ，解三角形;①当 B 640时，C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760,C 1800(A B) 1800(400116。

)240, casinC si nA 呼 13(cm). sin 40(2)解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。

例2 •在ABC 中， sin A cos Asi nA cos A j2cos(A 45 )-—, 21cos(A 45 )-.又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.°o o1 \/3Ltan A tan(4560 ) 一字2 J3,1 7342si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—.11 /2洽 nS ABCAC AB si nA 2 3近 46)。

22 44解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。

v 2—si nA cos A ——①22 1(si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A— 2Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0.1另解(si n2A —)223(s in A cos A)1 2 sin Acos A —,*'6_si nA cos A —②2$2 J6①+②得sin A --------------- 。

4①-②得 cosA<6。

4u 而丄 A si nA J 2 J 64c 匚从而 tan Al l 2 ~3。

cosA4v2 v 6点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是 一道三角的基础试题。

两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 题型3 :三角形中的三角恒等变换问题例3 •在△ABC 中，a 、b 、c 分别是/ A 、/B 、/C 的对边长，已知 a 、b 、c 成等比数列，且 a 2bsin Bc2= ac— bc，求/A 的大小及c分析：因给出的是 a 、b 、c 之间的等量关系，要求/ A ,需找/ A 与三边的关系，故可用余弦定理。

由b 2=ac 可变形为b^ = a ，再用正弦定理可求 bsinBc解法一：••• a 、b 、c 成等比数列，••• b 2=ac 。

又 a 2— c 2= ac - bc ,「.b 2+c 2 — a 2= bc 。

•••ZA=60 °。

/A=60 ° ,2bsin B b sin 60=si n60ac解法二：在△ ABC 中,1 1由面积公式得 一bc sin A = — ac sin B 。

2 2'/b 2=ac ,Z A =60 ° ，-bc sin A = b 2sin B 。

••bsinB =sin A 亠。

c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

题型4 :正、余弦定理判断三角形形状的值。

的值。

在△ABC 中，由余弦定理得:b 2c 2 cos A = ------------- a 2 _ be _ 12bc= 2bc = 2， 在△ABC 中，由正弦定理得 bsin A sin B = ---------- a ,v b 2=ac ,解:在△ABC 中，/DAC=30 ° ZADC=60 ° -z DAC=30, 所以 CD=AC=0.1又Z BCD=180 ° -60 ° -60 °60 ° ,故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以 BD=BA ,ACsi n603、2 v 6即 AB= sin 1520故B , D 的距离约为 0.33km 。

点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低, 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中 基本的数量关系即可过关。

三、思维总结1 •解斜三角形的常规思维方法是：(1 )已知两角和一边(如 A 、B 、C ),由A +B +C = n 求C ,由正弦定理求 a 、b ;(2) 已知两边和夹角(如 a 、b 、c ),应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的 角，然后利用A +B +C = n ,求另一角；(3) 已知两边和其中一边的对角(如 a 、b 、A ),应用正弦定理求 B,由A +B +C = n 求C ,再 由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；(4) 已知三边 a 、b 、c ,应余弦定理求 A 、B ,再由A +B +C = n ,求角C 。

B 点和D 点的仰角分别为75° , 30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为600,AC=0.1km 。

试探究图中B , D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B, D 的距离(计算结果精确到 0.01km ,1.414，2.449)ABAC在A ABC 中，sin BCA sin ABC因此, BD=0.33km 。

202 •三角学中的射影定理：在△ ABC 中，b a cosC c cos A ，…3 .两内角与其正弦值：在△ ABC 中，A B sin A sin B ，…4 •解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几 何作图来帮助理解”。

三、课后跟踪训练1. (2010上海文数18.)若厶ABC 的三个内角满足sin A:sin B :sin C 5:11:13【答案】A 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。

由正弦定理得c 2ibc 2、.3b , 2R 2R【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。

3. (2010 湖北理数)3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60，则△ ABC(A)，定是锐角三角形. (B ) —定是直角三角形.解析: ，定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形由 sin A:sin B :sin C5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13厶22 由余弦定理得cosc 511132 5 11， 所以角C 为钝角2. ( 2010 天津理数 7 )在厶ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若 a 2b 2、3bc ,sin C 2、3sin B ，则 A =((A) 300(B) 600(C ) 1200 (D ) 1500所以cosA=.2 2 2b +c -a 3bc 2 ■ 3bc . 32bc2bc2bc2，所以 A =30 0，贝 bosB =B L2 CD _1 333 3【答案】D4. （2010广东理数）11.已知a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若a=1,b= . 3 , A+C=2B, 贝U sinC= __ L一1 胚1解：由A +C =2 B 及A + B+ C =180 °知,=60 °由正弦定理知， ------------ ------ o ，即sin A —.由si nA sin 60 2a b 知，A B 60o ，则 A 30°,C 180o A B 180° 30° 60° 90°, sinC sin90° 1AC5 （2009湖南卷文）在锐角 ABC 中，BC 1,B 2A,则的值等于 _______ , AC 的取值范c°sA围为解析设 A, B 2 .由正弦定理得AC BC AC 4AC 2. sin 2sin ' 2c°s 1c°s 由锐角 ABC 得 0° 290°0°45°：又0°180° 390°30°60°,故30°45°_2c°s_32 2AC 2c°s （ 2, , 3）.2 26.（2009全国卷i 理）在 ABC 中，内角A 、B 、c 的对边长分别为a 、b 、c，已知a c 2b , 且 sin Ac°sC 3c°s Asin C,求 b【解析】根据正弦定理asin Ab 15sinB 可得 sin60°10而解得sinB持，又因为ba ，则 B A ,故B 为锐角，所以cos B.1 Sin 2 B兰，故D 正确.3分析：：此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手•对已知条件（1）a 2 c 2 2b 左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件（2）sin AcosC 3cosAs inC,过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分解法：在 ABC 中则Q sin AcosC 3cos Asin C,由正弦定理及余弦定理2 . 2 2 . 2 2 2abc 」 c a 有:ag 3 2ab解得b 4或b 0（舍）.45710解（A 、B 为锐角，sinA y ，sinB 石2~ 2 5丁 310…cosA / sin A 5 asB X sin B 10SP,2bc（角化边）化简并整理得: 2(a 22. .2 2c ) b 又由已知a2 2c 2b 4b b 2.7 .在△ABC 中，已知 A 、B 、C成等差数列，求tan A tan C2 2tan A tan C 的值。