解三角形的方法
1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫作解三角形。
以下若无特殊说明，均设ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<<C B A 、、0，π<+<B A 0，ππ<-<-B A ，
0sin >A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2
cos 2sin
C
B A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形
板块一：正弦定理及其应用
1．正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为AB
C ∆的外接圆半径
2．正弦定理适用于两类解三角形问题：
（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；
（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解
【例1】考查正弦定理的应用
（1）ABC ∆中，若
60=B ，4
2
tan =
A ，2=BC ，则=AC _____； （2）ABC ∆中，若
30=A ，2=
b ，1=a ，则=C ____；
（3）ABC ∆中，若
45=A ，24=b ，8=a ，则=C ____；
（4）ABC ∆中，若A c a sin =，则c
b
a +的最大值为_____。
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能
如图，在ABC ∆中，已知a 、b 、A
（1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ∆有唯一解；否则无解。
（2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b <<sin 时，三角形有两解； 当b a ≥时，三角形有唯一解
实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。
板块二：余弦定理及面积公式
1．余弦定理：在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有
余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222
22222 ， 其变式为：⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨⎧-+=
-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2
22222222
2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：
（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或
由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；
（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦
定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决
3．三角形的面积公式 （1）c b a ABC ch bh ah S 21
2121===∆ （a h 、b h 、c h 分别表示a 、b 、c 上的高）
； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===∆ （3）=∆ABC S C B A R sin sin sin 22 （R 为外接圆半径） （4）R
abc
S ABC 4=∆； （5）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ 其中)(2
1
c b a p ++=
（6）l r S ABC
⋅=∆2
1
（r 是内切圆的半径，l 是三角形的周长）
板块三：解三角形综合问题
【例】（09全国2）
在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，2
3cos )cos(=+-B C A ，ac b =2
，求B
【例】（11西城一模）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且5
4
cos =B ，2=b （1）当3
5
=a 时，求角A 的度数； （2）求ABC ∆面积的最大值 【例】在中，
，
，
，求A sin 的值和
的面积
【例】在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知2c =，3
π=
C
（1）若ABC ∆的面积等于3，求b a 、；
（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积
【例5】（09江西理）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且sin sin tan cos cos A B
C A B
+=
+，
sin()cos B A C -=
（1）求C A 、 （2）若33ABC S ∆=+，求c a 、
【例】（09安徽理）在ABC ∆中，sin()1C A -=, 3
1
sin =
B （1）求A sin 的值； （2）设6=
AC ，求ABC ∆的面积
【例】（10辽宁理）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，
且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=
（1）求A 的大小； （2）求C B sin sin +的最大值。