第 11章（之1）（总第59次）教材内容：§11. 1 多元函数1．解下列各题：** （ 1） . 函数 f (x, y) ln( x2 y 2 )．1 连续区域是答： x2 y 2 1函数 f (x, y) xyy2x2 y 2 0** （ 2） . x 2x 2 y 2 ，则（）0 0(A) 处处连续(B) 处处有极限，但不连续(C) 仅在（ 0,0 ）点连续(D) 除（ 0,0 ）点外处处连续答：（ A）**2. 画出下列二元函数的定义域：（1）u x y ；解：定义域为：( x, y) y x ，见图示阴影部分：（2）f ( x, y)ln(1 xy) ；解： (x, y) xy 1 ，第二象限双曲线xy 1 的上方，第四象限双曲线x y 1 的下方（不包括边界，双曲线xy 1 用虚线表示）．（3）zx yx ．y解：xy 0 x y x y 0 x y ．x y x y 0 xy*** 3. 求出满足 f x y,yx 2y 2 的函数 f x, y .xsx yxs1 t解：令y ，∴sttxy1 t∴ f s,ts 2 s 2t 2 s 2 1 t ， 即 f x, y x 2 1 y ．1 t2 1 t1 y*** 4.求极限： lim0 ,01 xy 21 ．x, yx 2 y1 xy 1 xy1 x2 y 2 解： 02x 2y 21 xy 1 x 2y 21 xy 1 x 2y 2x 2y 2（ x, y0,0 ）2 1 xy 1∴lim1 xy 1 0 ．22x, y0,0x y** 5. 说明极限limx 2 y 2 不存在．x 2 y 2x, y0, 0解：我们证明 x, y 沿不同的路径趋于 0,0 时，极限不同．首先， x0 时，极限为limx 2 y 2y 21，x 2y 2y 2xx, y 0,0其次， y 0 时，极限为limx 2 y 2 x 21 ，x 2y 2x 2yx, y 0,0故极限limx 2 y 2 不存在．x, y0, 0x 2y 2** 6.设f ( x, y)ysin 2x ，试问极限 lim f (x, y) 是否存在？为什么？xy 1 1 ( x, y) ( 0,0)解 ： 不 存 在 ， 因 为 不 符 合 极 限 存 在 的 前 提 ， 在 (0,0) 点 的 任 一 去 心 邻 域 内 函 数ysin 2x 并不总有定义的， x 轴与 y 轴上的点处函数 f ( x, y) 就没有定义．f ( x, y)xy 11*** 7. 试讨论函数 zarctanx y的连续性．1 xy解：由于 arctanx y是初等函数，所以除xy 1 以外的点都连续，但在xy 1 上的点处1 xy不连续．** 8. 试求函数 f ( x, y)xy的间断点．sin 2 x sin 2y解：显然当 ( x, y) (m,n) m, n Z 时， f ( x, y) 没定义，故不连续．又 f ( x, y)xy是初等函数．x sin 2sin 2 y所以除点 (m, n) （其中 m,nZ ）以外处处连续．第 11 章（之 2） （总第 60 次）教材内容： § 11.2 偏导数 [ § 11.2.1]** 1. 解下列各题：（1）函数 f (x, y)x 23（ ）y 在 (0,0) 点处（A ） f x (0,0) 和 f y (0,0) 都存在； （ B ） f x (0,0) 和 f y (0,0) 都不存在；（C ） f x (0,0) 存在，但 f y (0,0) 不存在； （ D ） f x (0,0) 不存在，但 f y (0,0) 存在．答：（ D ）．（2） 设 zx ( y 2) arcsinx，那么 z（）yy(!,2 )(A) 0 ；(B) 1 ；(C)； (D)．2 4答： (D) ．（3）设 f x, y xy ，则 f x ' (0,0) ______， f y ' (0,0) __________ ．解：由于 f ( x,0)0 ，f x ' (0,0) 0 ，同理 f y '( 0,0) 0 ．** 2. 设 z x2 yln x 2 y 2e xyz x , z y ．3 ， 求解： z x1xy 2 3ye xy ，z y2yy 23xe xy ．x 2x 2** 3. 求函数 zarctan y对各自变量的偏导数 .x解： z xy2 , z yx2．x 2 y x 2 y** 4. 设 f ( x, y)x 2 ln( x 2y 2)x 2y 20 0，求 f x (0,0), f y (0,0) ．x 2y 2解： f x ( 0,0) lim x 2ln x20 ， f y ( 0,0)lim0 00 ．x 0xyy*** 5. 求曲线z x 2 xy y 2在 1,1,1 点处切线与 y 轴的夹角．x1解：由于曲线在平面x 1内，故由zy 1,1x 2 y 1,1 1，得切线与 y 轴的夹角为 arctan1． [ 也可求出切向量为 0,1,1 ]4∴夹角 =arccos0,1,1 0,1,0 arccos 2 ．12 12 122 4*** 6. 设函数( x, y) 在点 (0,0) 连续，已知函数 f (x, y) xy(x, y) 在点 (0,0) 偏导数f x (0,0) 存在，（1）证明(0,0) 0 ； （2）证明 f y (0,0) 也一定存在．解：（ 1） limf ( x,0) f (0,0)x ( x,0)lim，xxx 0x因为 f x (0,0) 存在，所以 limx ( x,0) x ( x,0)x limxx 0 x即(0,0)( 0,0) ， 故( 0,0) 0 ．（2）由于( x, y) 在点 (0,0) 连续，且 ( 0,0) 0 ，所以 y0 时， (0, y) 是无穷小量，yf (0, y)f (0,0)y (0, y) ，即 f y (0,0) 0 ．而是有界量，所以 limlimyy 0yx 0y第 11 章（之 3） （总第 61 次）教材内容： § 11.2 偏导数 [ § 11.2.2 ~ 11.2.4]**1. 求函数 f x, y, zxchz yshx 的全微分，并求出其在点P 0,1,ln 2 处的梯度向量．解： df x, y, z d xchz d yshxchzdx xshzdz shxdy ychxdxchz ychx dx shxdyxshzdz∴ df x, y, z0,1,ln 21dx ，f x, y, z0,1,ln 21,0,0 ．44**2. 求函数 zarctanxy的全微分：1 xy解： dzd arctanxy d (arctan x arctan y)1 xyd(arctan x) d(arctan y)dx dyx 21 y 21**3. 设 zsec 2 ( xy) ，求 d z ．ln( xy 1)解： d z[ln( xy 1)] d[sec 2 ( xy)] sec 2 (xy) d[ln( xy1)][ln( xy 1)]212sec 2 ( xy)[ln( xy 1)] 2 [ln( xy 1)2 sec ( xy) tan(xy)( y d x x d y)xy 1( y d x x d y)][ 2ln( xy 1) tan( xy)( xy 1) 1]( ydx xdy) ．( xy 1) cos 2 (xy ) ln 2 ( xy 1)**4. 利用f df ，可推出近似公式： f xx, y y f x, y df x, y ，并利用上式计算 2.98 24.03 2 的近似值．解：由于 f xx, yyf x, ydf x, y ，设 fx, yx 2 y 2 ， x 3, y 4, x0.02, y0.03 ，于是df x, yxdx ydy x x y yx 2y 2 x 2y 2 ，f xx, y yf x, y x x y yx 2，y 2∴2.98 24.03 23242 30.02 4 0.035.012 ．32 42***5 ．已知圆扇形的中心角为60，半径为r 20cm，如果 增加了 1，r 减少了 1cm，试用全微分计算面积改变量的近似值． 解： S1 r2 180 ，2dS(2( dr r 2d )) ，360∴S dS( 2 20 60 ( 1)(20) 2 1) 17.4533(cm 2 ) ．360 360***6. 计算函数 f x, y, zln x2 y 3z 在点 P1,2,0 处沿给定方向 l 2i j k的方向导数f ．lP解： f x1,f y2 , f z3，x 2y 3zx 2 y 3zx 2y 3ze l2 1 16 , , ， 6 6ff e l1 2 3 21 1 1∴l P, 5 , , , 65 ．5 56 66***7.函数 zarctan 1 x在（ 0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数1 y的值．解：z111x (0, 0)21 y ( 0,0 )，1 21x1 yz11 x1y(0,0)2 (1 y) 2(0, 0)，121 x1 yz 1cos(1)sin1 1, 1 cos ,sin2cos ，l2222其中为 lcos ,sin与 g1 , 1 的夹角，2 2所以0 时，即 l 与 g 同向时，方向导数取最大值z 2 ．l2**8. 对函数 f ( x, y, z) exyz求出 f ( x, y, z) 以及 f (1,2,3) .解：fyze xyz , xze xyz , xye xyz ， f (1,2,3) e 6 6,3,2 ．1(e 1 , e1 , 1) 处的梯度． **9. 求函数 f ( x, y, z)(x y) z 在点 P222111解：f 11 11( x y) zln( xy) ，( xy)z, ( xy)z,z 2zzf (e1 , e 1 , 1 ) 2e,2e, 4e2 ．2 2 2***10. 讨论函数 f ( x, y)x 2 y 2 sin 1 y 2 ,x 2 y 2 0x 2 x 2 y 2在点（ 0， 0）处的连0,续性，可导性和可微性．解：因为limf ( ,y) limx 2 y 2sin 12 0 f( , )x 0 x x 0 x 2 y 0 0 ，y 0 y 0所以 f (x, y) 在点（0，0）连续．因为 lim f (0 x,0) f (0,0) limx sin 1，0xx 0 x x( x 2 )极限不存在， f ( x, y) 在（0，0）处不可导，从而在（0， 0）处不可微．第 11章（之4）（总第62次）教材内容：§11.3 复合函数微分法；§11.4隐函数微分法**1. 解下列各题：（1）若函数f (u, v)可微，且有 f ( x, x2 ) x4 2x3 x 及 f u ( x, x 2 ) 2x2 2x 1，则f v ( x, x 2 ) = ( )(A) 2x2 2x 1 (B) 2x2 3x 12x(C) 2x2 2x 1 (D) 2x2 3x 1答： (A)（2）设函数z z( x, y) 由方程xy2z x y z所确定，则z =_________．y答：2xyz 1．1 xy 2z zx 3 y ， v 3x y 下，可得新方程为_______.（3）方程 3 ，在变量代换 ux y答：z．0 u** 2. 设u x2 y 2 z2 , x r cos sin , y r sin sin , z r cos 求u,u,u．r解：u2x cos sin2 y sin sin2zcos2r ，ru) sin ] 2 y(r cos sin) 0，2x[ r ( sinu2 y(r sin cos ) 2zr sin．2x(r cos cos ) ** 3. 一直圆锥的底半径以 3 cm/ s 的速率增加， 高 h 以 5 cm/ s 的速率增加， 试求 r=15 cm ，h=25 cm 时其体积的增加速率． 解： V1r 2 h ，3dV V dr V dh 2rhdr1 r2 dhdtr dt h dt3 dt3dtdV r 15 1125 cm 3 / sdth 25* 4. 设 ze x3y , 而 x sin t, yt 4 ，求 dz．dt3解：dzz x dx z y dy e x cost4t 2 ．dt dt dt3y 3** 5. 若 zxy，证明： xy 2zx 2 y zx 2 zy 2 z ．f ( x 2 y 2 )xy解： z xyf2x 2yf , z y xf 2xy 2 f ，f 2f 2则xy 2 z xx 2 yz yxy( x 2 y 2 ) x 2 z y 2 z ．f** 6. 设 uf ( xe y , ye x , xy cos 2 x) ，求 u , u,du ．x y解：u e y f 1 ye x f 2 ( y cos 2 x xy sin 2x) f 3 ，xu xe y f 1e xf 2 x cos 2 xf 3 ，ydue yf 1ye x f 2 ( y cos 2 x xy sin 2x) f 3 dx xe y f 1 e x f 2 x cos 2 xf 3 dy ．** 7. 求由方程xlnz所确定的函数 z z( x, y) 的偏导数z , z ．z y x y1 1z2解： z x Fx z z ， zyFy y．Fz x y x Fz x 1 xyz yz z2 yz z2 z** 8. 设 F ( xy, y z, xz) 0, 试求z , z, dz ．x y解： F ( xy, y z, xz) 0, 两边对 x 求导，得yF1 z x F2 F3 ( z xz x ) 0 ，解得z x yF1 zF3 ，F2 xF3两边对 y 求导，得xF1 F2 (1 z y ) F3 xz y 0 ．解得 z y xF1 F2 ，所以 dz yF1 zF3 dx xF1F2 dy ．F2 xF3 F2 xF3 F2 xF3*** 9. 函数 z z( x, y) 由方程 F (x, x y z,z xy) 1 所确定，其中 F 具有连续一阶偏导数， F2 F3 0 ，求z 和 z ．x y解： F1 d x (d x d y d z)F2 (d z y d x x d y) F3 0，d z ( F1 F2 yF3 ) d x ( F2 xF3 ) d y ，F2 F3z F1 F2 yF3 ，zF2xF3．x F2 F3 y F2 F3*** 10. 求由方程z3 xyz a 3( a0) 所确定的隐函数z z( x, y) 在坐标原点处沿由向3量 a 1, 2 所确定的方向的方向导数．解：当 x 0, y 0 时，z0 a 0 ．z yz0, z xz0 ，z 0 ．( 0.0 )2 xy( 0,0 )(0 .0)z 2xy(0 ,0) ax z y*** 11. 设xu yv 0, yu xv 1,( x2 y2 0) 求u , v , u , v ．x x y yu x uyvu xu yv x x x x 2 y 2解：u v v xv yu v y x 0x x x x2 y2x uv yvu yu xv y y y x 2 y2类似地u v v xu yvu y x 0y y y x 2 y2第 11章（之5）（总第63次）教材内容：§11.5多元函数微分法在几何上的应用**1.曲面 x2 2 y 2z2xyz 4x 2z 6 在点A(0,1,2) 处的切平面方程为（）（A）3(x 1) 2( y 2) 3z 11 0 （ B）3x 2 y 3z 4（C） x y 1 z 2 0 （D） x y 1 z 23 2 3 3 2 3答： (A) ．**2. 设函数 F ( x, y, z) 可微，曲面 F ( x, y, z) 0 过点M (2, 1,0) ，且F x (2, 1,0) 5, F y (2, 1,0) 2, F z (2, 10,) 3 .过点 M 作曲面的一个法向量n ，已知 n 与x 轴正向的夹角为钝角，则n 与 z 轴正向的夹角=______ ．答：．3***3. 设曲线 x 2t 1 y 3t 2 1 z t 3 2在 t 1 对应点处的法平面为S ，则点, ,P ( 2,4,1) 到S的距离d ______ ．答： 2．**4.求曲线L : x a cost, y bsin t , z ct 在点 M 0(a,0,2 c) 处的切线和法平面方程．解：dxt 0a sin t t 0 dtdyt 0b cost t 0 dt∴切线方程为：x a0,b,dzc ．t 0dty 0 z 2 cx ay z 2 c，b cb c法平面方程为：by c(z 2 c)0 ．***5. 求曲线 L : xy yz zx 11, xyz 6 在点 M 0 (1,2,3) 处的切线和法平面方程．解：设 F ( x, y, z) xy yz zx 11 ， G (x, y, z) xyz 6 ，( F ,G) y z x z xz( y z) yz(x z) z2 ( y x) ，yz xz(x, y)( F , G) x z y xxy(x z) xz( x y) x 2 ( y z) ，( y, z) zx xy( F ,G) x y y z zy(x y) xy( y z) y 2 ( z x) ．xy zy( z, x)∴ ( F ,G ) M 0 9, (F , G ) M 0 1, ( F , G) M 0 8 ，( x, y) ( y, z) (z, x)∴切线方程为x 1 y 2 z 3 ，1 8 9法平面方程为x 1 1 y 2 8 z 4 9 0，即x 8 y 9 z 12 0 ．***6.求曲面 4x2y24z216 在点 P (1,2 2, 1)处的法线在yOz 平面上投影方程．解：曲面在点P (1,2 2, 1）处的法线方向向量n8,4 2 , 8 4 2, 2, 2 ，法线方程为：x 1 y 2 2 z 1 ．2 22 法线在 yOz 平面上投影方程为xy 2 2 z 1 ．2 2***7. 求 曲 线 x t 3, y 2 t 2 , z t3 上 的 点 ， 使 曲 线 在 该 点 处 的 切 线 平 行 于 平 面 x 2 y z 1 ．解：设所求的点对应于 t t 0 ，则对应的切线方向向量为：s 3 2 ,4 ,3 ．t 0 t 0因为 s 垂直于平面法向量 n 1,2, 1 ，所以 s n 3t 02 8t 03 0 ，解得： t 01 和 t 0 3 ．所求点为：1 , 2,1 和 ( 2718,, 9) ．327 96**8 ．求曲面 z上平行于平面 6x 3 y 2z 6 0.的切平面方程．xy解： z6 , z 6 ， xxyy xy 266kx 2 y x 16∴由条件，得：3ky 2 y 2 xz312k∴切平面方程为： 6( x 1) 3( y 2) 2( z 3) 0,即 6 x 3 y2z 18 0 ．22***9. 求函数 z e x y 在点 M 0(x 0 , y 0 ) 沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数．解：等值线方程为x 2 y 2 x 02y 02 ,在 M 0(x 0 , y 0 ) 处的法线斜率为 ky 0，即法线方向向量为 n {1 ,y 0} 或 { x 0 , y 0 } ，x 0x 0方向余弦为： cosx0cosy0, x02 y02 x02 y02z x02 y2 x0 e x02 y02 y0 x02 y02 2 2．e 2 x0x02 y02 2 y0x02 y022e x0 y0n***10. 求函数z y sin x 在P ,1 点沿a方向的方向导数，其中a为曲线2x 2 sin t , y cos2t 在t 处的切向量（指向t 增大的方向）．6解：d y 2 sin 2t，tand x t 6 2 cost t 6cos 1， sin ，2 1 2 1z cosx ，zx ,1 2 y sin x ,1 y ,12 2 2所以z1)1a( (22 1 2 212 y sin x)12 2,1221，2 2．1x f ( y, z)z0点处的切线方***11. 设f ( y, z), g(z)都是可微函数，求曲线在对应于 zy g( z)程和法平面方程．解： z z0对应点 f [ g( z0 ), z0 ], g(z0 ), z0，对应的切线方向向量：S f y [ g(z0 ), z0 ]g ( z0 ) f z [ g( z0 ), z0 ], g (z0 ),1 ．切线方程：x f [ g( z0 ), z0 ] y g( z0 )，f y [ g( z0 ), z0 ]g ( z0 ) f z [ g( z0 ), z0 ]z z0g (z0 )法平面方程：f g z z g z f g z z x f g z z y [ ( 0 ), 0 ] ( 0 ) z [ ( 0 ), 0 ] [ ( 0 ), 0 ]g (z0 )[ y g(z0 )] ( z z0 )0 ．****12.在函数 u 1 1的等值线中哪些曲线与椭圆x28 y216 相切？解：对等值线1 1dx dy 0 ， 即dy y 2 ，u 0 两边微分得x 2y 2 dxx 2xy同样对 x 2 8 y2 16 两边微分，有dyx ，dx8yy 2x 2 y ，令，得 xx 28y代入 x 28y 216 ，得x4 , y 2 ，33∴u 0 1 13 3x y．4***13.试证明曲面 xyza 3 上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之积为定值．解：由 xyz a 3， 得za 3，xy∴在点 ( x 0 , y 0, z 0 ) 处法向量为：a3a 3x 0,y 0 ,1 ，2 y 0 2 x 0∴切平面为：a 3( x x 0 )a 3( y y 0 ) z z 0 0 ，x 0 22y 0 x 0 y 0又 ∵ x 0 y 0 z 0a 3 ，∴ 切平面方程化为：xy z1 ，3x 03y 0 3z 0∴ 截距之积为：27x 0 y 0 z 0 27a 3 （定值）．***14. 证明曲面 Fxa , yb 0的所有切平面都通过一个定点，这里F ( u,v) 具有一z c z c阶连续偏导数．解：曲面上点 ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 处的切平面法向量：F 1 F 2 ,1,1( z 0 c)F 1 ,( z 0 c) F 2 , ( x 0 a) F 1 ( y 0 b) F 2 ．(z 0c) 2切平面方程为：( z 0 c) F 1 ( x x 0 ) (z 0 c) F 2 ( y y 0 )( x 0 a) F 1 ( y 0 b) F 2 (z z 0 ) 0 ．易知 xa, yb, z c 满足上述方程，即曲面的所有切平面都通过定点( a,b, c) ．第 11 章 （之 6）（总第 64 次）教学内容： § 11.6 泰勒展开1．填空：* （ 1）设 uxyy，则2u=________ ．xx 2答：2y ．x 3* （ 2）设 ux ln xy ，则2u= _________ ．x y答：1 ．y* （ 3）设 ux 2 sin y y 2 cosx ，则2u= _________ ．x y答： 2x cos y 2 y sin x ．* （ 4）设 uarctanx y，则2u=_______ ．1 xyx y答： 0 ．** （ 5）设 ze xsin y e xcos y ，则 2z2zx 2y 2 = _________ ．答： 0．**2 ．设 zf ( x,u) 具有连续的二阶偏导数，而u xy ，求2z ．x 2解: z x f x yf u ， z xx f xx 2 yf xuy 2 f uu ．**3 ．设 zx ln( xy) ，求3z．x 2 y解一：z yx ， z yx1 ， z yx 20 ．yy解二： z xln( xy) 1 ，z x21z yx20 ．，x**4 ．设 zy 2 f (xy 2 ) xf ( x 3 y 4), 求 z xy ( 1,2) ．2解： z x y4f '( xy 2 ) f ( x 3 y 4 ) 3x 3 y 4 f ( x 3 y 4 ) ，zxy4 y 3 f ' (xy 2 ) y 4 f " ( xy 2 ) 2 yx f ' ( x 3 y 4 ) 4 y 3 x 312 x 3 y 3 f '( x 3 y 4 ) 3x 3 y 4 f " (x 3 y 4 ) 4x 3 y 3 ,∴z xy ( 1,2) 32 f '( 2) 32 f " (2) 4 f ' (2) 12 f ' (2) 24 f "( 2)248 f ' (2) 56 f " (2) ．**5 ．函数 yy( x) 由方程 x 2 2xy y 2 1所确定，求 d 2y ．d x 2解：d y2x2y x y ， d x2x 2yy xd 2y (1 y )( y x) ( y 1)( x y)d x 2( y x) 22( x 2 2xy y 2 )2( y x)3(x y) 3.***6 ．求方程xze y z所确定的函数 z z(x, y) z=z(x,y)的所有的二阶偏导数 .解： 1z e y zz ， ∴z 1 ．2ze y zz e y zxx 2 (e y z 1)2(e y z1)3，因为z e y z(1z ) ，∴ z e y z1 1 ．yyy 1 e y z1 e y z2z ey z (z1)e y z则yy 2(1 e y z ) 2，(1 e y z ) 32ze y z ( z 1)e y zy 3 ，x y (1 y z) 2(1 y z) ee2ze y zz e y zx． y x(1 e y z ) 2(e y z 1)32z***7 ．对于由方程F (x, y, z) 0 确定的隐函数 z (x, y) ，试求．解：由公式z F x 两边对 x 求偏导数，得xF zzz2z( F xxFxzx ) F zF x ( F zxFzz x)x 2F z2F x (F zxF zzF x) ( F xxF xzF x) F zF zF z2F zF x F z F zxF zz (F x )2( F z )2 F xx F xz F x F zF z32F x F z F xz (F x ) 2 F zz(F z ) 2F xx(一般约定 F xz F zx ) 。