流体力学第七章
四、气体按不可压缩处理的极限
当Ma=0时,各参数比值均为1,也就是流体处于静止 状态,并不存在压缩问题。当Ma>0时,在不同的速度v下 都具有不同程度的压缩,那么Ma数在怎么的限度下才可以 忽略压缩影响呢?这要根据计算要求的精度来决定。
§7-3 气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
对于一元恒定气流,根据质量恒定原理,沿流各过流断 面上的质量流量为常数。即得连续性方程(不可压缩流体):
声速公式:
c
dp p k kRT d
二、滞止参数
气流某断面的流速,设想以无摩擦绝热过程降低至零时, 断面各参数所达到的值,称为气流在该断面的滞止参数。这些 参数通常以“0”为下标。 断面的滞止参数可根据能量方程及该断面参数值求出。 滞止压强和滞止密度 滞止温度 滞止焓值
k p0 k p v2 0 k 1 0 k1 2
p
联立:
dv v
k
C
dp d k p
c k
2
p
dv vdv dl v 2 2 0 得: k 2 v c k 2d c k
dv 2 dv 2 dl k kMa kMa 0 v v 2d
k kMa dv kMa v
2
2
dl
2d
第七章 可压缩气体一元流动
第一节 理想气体一元恒定流动的运动方程 第二节 声速、滞止参数、马赫数 第三节 气体一元恒定流动的连续性方程 第四节 可压缩气体管道流动
§7-1 理想气体一元恒定流动的运动方程
理想气体一元恒定流动的运动微分方程
根据牛顿第二定律,可得
d 2
4
dp
d 2
4
dls a s
连续性方程:
cA c dv d A
dLeabharlann dv 展开整理,并略去二阶小量,得 c
对控制体建立动量方程,由于控制体体积趋近于零,那么质 量力也为零。并且忽略切应力的作用。
pA p dpA cAc dv c
dp cdv 整理得 由流体的弹性模量与压缩系数的关系推导出:
(1)Ma<1,v<c,为亚声速流动。此时Ma2-1<0 ,说明气体作 亚声速流动时,速度随断面的增大而减慢;随断面的减小而 加大。这与不可压缩流体运动规律相同。 (2)Ma>1,v>c,为超声速流动。此时Ma2-1>0 ,说明气体作超 声速流动时,速度随断面的增大而加快;随断面的减小而减 慢。 (3)Ma=1 即气流速度与当地音速相等。此时称气体处于临界 状态。气体达到临界状态的断面,称为临界断面。
一、声速
声音的来源是由于物体振动。当物体在可压缩介质中振 动时,这种振动便引起介质的压力和密度的微弱变化,通常 称之为介质的微弱扰动或弱压力波。这种扰动在介质中依次 传递下去,就是声音的传播过程。 声速就是指在可压缩介质中微弱扰动的传播速度。
声 速 传 播 物 理 过 程
如图所示,若将坐标系固定在波峰上,右侧流速为c,压强p, 密度 ;左侧压强p+dp ,密度+d ,速度c-dv 。取波峰左右各 一个断面,控制面无限接近,控制体体积趋近于零。
RT ,上式变为
k v2 RT 常数 k 1 2
将 k 1.4 代入上式中,
v2 3.5 287T 常数 2
列两断面间流速与绝对温度的关系式
2 2009 T1 v12 2009 T2 v2
所以有
v 2 2009 (T1 T2 ) v12
§7-2 声速、滞止参数、马赫数
dv Ma2 dl v 1 Ma2 2d
dp kMa2 dl p 1 Ma2 2d
dv Ma2 dl v 1 Ma2 2d
讨论:
dp kMa2 dl p 1 Ma2 2d
(1)当l 增加,摩擦阻力增加,将引起下列结果: Ma<1 1-Ma2>0 v 增加 p减小 Ma>1 1-Ma2<0 v 减小 p增加
为什么超声速流动和压声速流动存在着上述截然相反 的规律呢?
从可压缩流体在两种流动中,起膨胀程度与速度变化之 间关系说明:
§7- 4 可压缩气体管道流动
一、气体管中等温流动
1、气体管路运动微分方程 微段dl上单位质量气体摩擦损失(压强和密度都发生改 变,速度也发生改变): dl v 2 (等温流时,是常数。) dhf d 2 将其加到理想气体一元流动的欧拉微分方程中,便得到 了实际气体的一元运动微分方程(气体管路的运动微分方程 式): dp 2 vdv v dl 0 2d 或 2dp dv 2 dl 0 2 v v d
等熵流动的气体参数变化遵循等熵过程方程式。
p
v2 d 2
0
k
C
代入上式积分,得:
k c p k 1
1 k k 1 k
v2 C (常数) 2
1 p 利用热力学可证明, k1
即是绝热过程中单位质量气体 所具有的内能。
k p v2 C(常 数 ) k1 2
dl 0
0
l
1 k 1 k ! k q k C p1 k p2 k m2 k1 A
2
v2 ln v1 2d
l
在实际应用中,认为对数项较摩擦损失项小,可忽略不计。
p1
k 1 k
p2
k ! k
1 lqm k k C k1 2dA2
c2 k
p
dv kMa2 dl v 1 kMa2 2d
dp dv kMa2 dl p v 1 kMa2 2d
dp dv kMa2 dl p v 1 kMa2 2d
(1)当 l 增加,摩阻增加时,若kMa2 <1时, 1 – kMa2 >0, 则v 增加,p 减小;若kMa2 >1时, 1 – kMa2 <0,则v减小,p 增加。变化率随摩阻的增大而增大。 (2)虽然在kMa2 <1 时,摩阻沿流增加,使速度不断增加, 但是由于流速不能无限增大,也就是说管路出口断面上的Ma 1k 。 (3)对应于 Ma= 1 k 时的管长 l , 就是等温管流的最大管 长。如实际长度超过最大管长,那将会使进口断面流速受到 阻滞。
2 1 1
2
1
dv v d
2
1
dl 0
v 2 l p p v p1 2 ln v d 1 l v l 2 2 2 2 ln 2 p p v p (管路较长时) 1 2 1 1 1 v1 d d
2d 5 2 2 qv p1 p2 16lRT
vA 常数
将连续性方程进行微分求解, d vA vdA vAd Adv 0
或 再根据能量方程
dv d dA 0 v A
dp
vdv 0 有
dA dv 2 dv v 2 dv dA M 1 2 0 A v v c v A
二、气流速度与断面的关系
k k v2 RT0 0 RT k1 k1 2
v2 h0 h 2
如果考虑到声速 c kRT 和滞止声速 c0 kRT0
可以得到
2 c0 c2 v2 k 1 k 1 2
三、马赫数Ma
气流速度v越大,声速c越小,压缩现象越明显。若取指定 点的当地速度v与该点当地声速c的比值为马赫数Ma。
变化率随摩擦阻力的增加而增加。 (2)Ma<1时摩擦阻力增加,引起速度增加。正如等温管流 一样,在管路中间决不可能出现临界断面。至出口断面上, Ma 1 。 (3)Ma=1的l 处求得的管长就是绝热管流动的最大管长。如 管道实长超过最大管长时,与等温管流情况相同。
v 2 dl 0
在绝热流动时是随温度变化的,可取其平均值
l
0
dl
l
又因为
qv v A
,代入上式,并用 v2 除之, 可得
1 1 A2 k dv k c p dp dl 0 2 v 2D qm
将上式对长度l的1、2两个断面进行积分可得:
1 1 p2 v 2 dv A2 k k C p dp 2 p1 v1 v 2d qm
由于是恒定流,有
dv v v dls dv as v dt t l s dt dls
综上得 :
dp
vdv 0 或
dp
v2 d 2
0
——理想气体一元恒定流动的运动微分方程, 也称欧拉运动微分方程
dp
一、气体一元定容流动
不变,积分上式,得
1 p p v2 C (常数) k 1 2
v2 u C (常数) 2 p
【例7-1】求空气绝热流动时,(无摩擦阻力损失)两断面间流速与 绝对温度的关系。已知空气的绝热指数,气体常数。 解:根据公式(7-1-11) 由于
p
1 p p v2 常数 k 1 2
v Ma c
(1)Ma>1,v>c,即气流本身速度大于声速,则气流中参数的 变化不能向上游传播——超声速流动。 (2)Ma<1,v<c ,即气流本身速度小于声速,则气流中参数 的变化能够向上游传播——亚声速流动。 在气体动力学中马赫数是一个重要无因次数,它反映了惯 性力和弹性力的比值,是一个确定气体流动状态的准数。
【例7-3】氦气在直径d=200mm,长l=600m的管道中作等温 流动,进口断面 v1 90 m s,p1 1380kPa ,t=25℃,氦气 k=1.67,R=2077J/(kg· K),管道λ=0.015,求出口断面 p2 和 v2 。 解: 由于 所以