雷诺实验
第七章 湍流
Upper: Reynolds apparatus for investigating the transition to turbulence in pipe flow. Lower: Photographs of near-laminar flow (left) and turbulent flow (right) in a clear pipe much like the one used by Reynolds.
2、所选时间段的限制 就时间而言，也需要在一定的时间间隔中求其平 均状态
v
QV
1
v Vdt
t t
要求1
v Vdt
0或u'
v
'
w'
0
t t
Current meter
为什么要求时 间平均？
由时间平均也可得出合成速度。如此，也可以合成一条流线。
3、实际求法 由于在实验上，对被测的量按时间求平均比较简单，所 以我们把这种实际情况作为在计算上只限于求时间平均值的 根据。
而 u X
t
x
Pxx u u
u u
y
Pyx u v u v
z
Pzx u w u w
X x
Pxx u u
y
Pyx u v
z
Pzx u w
u u u u v u u v w u u w
u X
t
x
Pxx uuuu
y
Pyx uvuv
z
Pzx uwuw
另一方面有
u v w 0 (u u) (v v) (w w) 0
x y z
x
y
z
1 (u u) (v v) (w w)
(
)dt 0
t t x
y
z
u v w 0 x y z
同时有
(u v w) 0 x y z
v x
u y
P
zz
p
2
Pxy
v x
w
z
u
y
P
xz
w x
u z
P
x
z
w x
u z
P
yz
w y
v z
P
y
z
w y
v z
(7-1-9)
P
x
x
p
2
u x
P xx
u u
p
2
u x
P
y
y
p
2
v y
P
yy
v v
p
2
v y
P
z
z
Pxy
4、实际求法的合理性：仪器惯性
可以证明，
u u u u u u
v
v
v
v
v v
w
w
w
w
w w
湍流中的压强也有 p p p
常用的时均公式
a+b a b ka k a m m ab ab q q l l
7.1.2平均运动的微分方程——雷诺方程
在第五章中已知 :
du dt
x
x
y
y
z
z
u X
t
x
Pxx u u
y
Pyx u v
z
Pzx u w
u u v u w u
x
y
z
u X
t
x
Pxx uu
y
Pyx uv
z
Pzx uw
u u v u wu
x
y
z
红色部分合并得
du X
dt
uu uv uw
Pij vu vv vw
wu wv ww
研究湍流运动规律时的两个基本假定:
（1）连续方程和运动方程式仍是正确的。
（2）应力张量与变形速度之间的线性关系依然 正确。即
P
xx
p
2
u x
P
x
x
p
2
u x
P
yy
p
2
v y
取时均值
P
y
y
p
2
v y
P
zz
p
2
w z
Pxy
X
Pxx x
Pyx y
Pzx z
dv dt
Y
Pxy x
Pyy y
Pzy z
dw dt
Z
Pxz x
Pyz y
Pzz z
或
v dV
v F
uv Px
uv P y
uv Pz
dt
x y z
Q
u t
u
u x
v
u y
w
u z
X
Pxx x
Pyx y
Pzx z
层流 这类流动的特点是所有流体质点的轨道都是平滑的 曲线，速度场和压强场是关于空间和时间的连续函数。 在层流运动中，摩擦应力服从牛顿粘性假设。
湍流 流体质点的轨道没有秩序，并且各质点间有不连续 的相对移动。
得出下述结论： （1）在扰动很小的时候，临界雷诺数可达很高的 值； （2）对于直管，Re<2000时，无论扰动多大，都 保持层流。
两大无法使人理解的问题: 爱因斯坦相对论和湍 流------海森堡
湍流研究大致形成两大理论：
（1）半经验理论(应用价值大)；半经验理论中最基本 的内容是“混合长度理论”。
（2）统计理论(应用价值小) 。
第一节 平均运动理论 7.1.1平均值(时、空平均)
u u u v v v
或Vv V
v V
p
2 v x
w
z
u
y
简单 摸 仿
P zz
Pxy
w w p 2 w z
u v
v x
u y
P
x
z
w x
u z
P
xz
u w
w x
u z
P
y
z
w y
v z
P
yz
v w
w y
v
z
(7-1-10)
将（7-1-9）及（7-1-10）代入平均运动微分方程（7-1-7）
u v w 0 u u u v u w 0
x y z
x
y
z
u t
u
u x
v
u y
w
u z
u
u x
u
v y
u
w z
X Pxx Pyx Pzx x y z
u t
X
x
Pxx
uu
y
Pyx uv
z
Pzx
uw
对X向的运动方程求时均值得:
假定(u)u得 t t
x
Pxx uu
y
Pyx uv
z
Pzx uw
得雷诺方程
du dt
X
x
Pxx uu
y
Pyx uv
z
Pzx uw
dv dt
Y
x
Pxy uv
y
Pyy vv
z
Pzy wv
dw dt
Z
x
Pxz uw
y
Pyz vw
z
Pzz ww
(7-1-7)
7.1.3Pxx uu
y
Pyx uv
z
Pzx u w
(7 1 7)
w w w
求平均值时的限制 1、所选体积的限制 就空间而言，在所选的一定体积τ（质心在内） ，
v V
1
v Vd
其 中 d d x d y d z
这
就
要
求
1
v
V d
0
或 u ' v ' w ' 0
为什么要求 空间平均？
由空间平均得出合成速度。如此，可以合成一条流线。 困难：空间取多大是合适的？如何取？