(C C1 ln a)
t a
x
例18. 求
解: 当x a 时, 令 x a sec t , t ( 0 , ) , 则 2
x 2 a 2 a 2 sec 2 t a 2 a tan t dx a sec t tan t d t
a sec t tan t d t sec t d t ∴ 原式 a tan t ln sec t tan t C1
2. 求 提示:
法1 法2
法3
(x ) x
10
10
10
1 10
dx
1 d x 10 10
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f [ ( x)] ( x)dx f (u )d u u (x)
难求 易求
若所求积分 f (u )d u 难求，
则得第二类换元积分法 .
f (u )du
即
u (x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注: 当
时
例2. 求
解:
1 dx 2 x x a 1 (a) 2 a 1 x 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
1 u2
想到公式 du
arctan u C
例3. 求
解:
a
dx
x 1 (a)2
1 sin 2 4 x 1 2 sin 4 x sin 2 x 1 sin 2 2 x 4 4 4

∴原式 =
1 (1 cos 8 x) 8
1 4
sin 2 2 x cos 2 x 1 (1 cos 4 x) 8
1 dx 64 cos 8 x d(8 x) 1 1 sin 2 2 x d(sin 2 x) 32 cos 4 x d( 4 x) 2
t sin 2t C a 2 4 x a2 x2 sin 2t 2 sin t cos t 2 a a x 1 a2 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2
2
a t
a2 x2
x
例17. 求
解: 令 x a tan t , t ( , ) , 则 2 2
d dt 1 F (x) f (x) f [ (t )] (t ) d t dx (t )


f ( x) dx F ( x) C [ 1 ( x)] C
[t[ (C)] t ) d1 ( tx) 1 ( x ) f ] t t ( t
x ln tan C 2
例11. 求
x3 (x2 a2 )
3 2
dx .
1 1 (x2 a2 ) a2 2 x 2 dx 2 dx 解: 原式 = 3 3 2 ( x2 a2 ) 2 2 (x2 a 2 ) 2 1 2 2 2 2 12 ( x a ) d( x a ) 2 a2 2 2 3 2 d( x 2 a 2 ) (x a ) 2
万能凑幂法
n 1 1 f (xn ) 1 d xn f (x ) x dx n x
n
f ( x n )x n 1 dx 1 f ( x n ) d x n n
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
dx dx ( 2) (1) 4 x 4 x2 x d(4 x 2 ) (3) dx 1 2 4 x2 4 x2 x2 (4) dx 4 x2 dx 1 1 (5) 2 2 x 2 x 4 x dx (6) 4x x2
x x x
例10. 求
解法1
cos x d sin x dx 2 2 cos x 1 sin x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx F[ ( x)] C F (u ) C
f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元 公式
1 1 sin x ln C 2 1 sin x
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x
sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x

d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证 或
csc xdx ln csc x cot x C
解: 令 x a sin t , t ( , ) , 则 2 2
例16. 求 a 2 x 2 dx (a 0) .
2 2 2 2
a x a a sin t a cos t dx a cos t d t
2
a cos t a cos t d t a 2 cos 2 t d t ∴ 原式

x d (a) x 1 (a)2
想到

du 1 u2
arcsin u C

f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
(直接配元)
例4. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
解法1
d(1 e x ) (1 e x ) e x dx d x 1 ex 1 ex
x ln(1 e ) C
x
解法2
e d(1 e ) dx x x 1 e 1 e
x
x
ln(1 e x ) C ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
( 3 2 cos 2 x 1 cos 4 x) dx 2 2
3 2
cos x dx
4
1 4
dx cos 2 x d( 2 x) 1 cos 4 x d(4 x) 8
例13. 求 解: sin 2 x cos 2 3x [ 1 (sin 4 x sin 2 x)]2 2
1 ln x a ln x a 2a
1 xa C C ln 2a x a
常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
f [ ( x)] ( x)dx 易求,
定理2 . 设
是可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1 ( x) 是 x (t ) 的反函数 .
证: 设 f [ (t )] (t )的原函数为 (t ) , 令 (t ) f [ (t )] (t ) F ( x) [ 1 ( x) ] 则
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 asec t
dx a sec t d t a sec2 t d t sec t d t ∴ 原式 asec t ln sec t tan t C1
2
x a
2
2
ln
x2 a2 x
C1 a
寄
语
这个世界,不属于有权人,
也不属于有钱人,而是属于有心人.
第八章 不定积分
本章内容：
第一节、不定积分概念与基本积分公式 第二节、换元积分法与分部积分法
第三节、有理函数和可化为有理函数的不定积分
2
第二节 换元积分法与分部积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、分部积分法
第8章
基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
x x
( x 1)e dx xe dx e dx
例15. 求 解: 原式
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f ( x) f 2 ( x)
dx

f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 1 (1 2 cos 2 x cos 2 2 x) 4
4 2 2
1 (1 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) 4 2 1 ( 3 2 cos 2 x 1 cos 4 x) 4 2 2
x ln a
x2 a2
t
x2 a2 C1 a
(C C1 ln a)
当x a 时, 令 x u , 则 u a , 于是
du u2 a2
ln u u 2 a 2 C1
ln x x 2 a 2 C1
例14. 求
解: 原式=
ex
ex
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e