x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
dS 是 是球面 S r 上点的坐标， 积元素。
在球坐标系中，d 显然有
__
M
S rM
d 是单位球面上的面 上的面积元素。
sin d d
dS r 2 d
下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。
2 2u u 2 a t 2 x 2 u t 0 ( x),
u ( x) t t 0
（9.1.8） （9.1.9）
（9.1.7）
将式（9.1.6）中的函数代入式（9.1.7）中，得：
——无限长弦自由振动的D’Alembert（达朗贝尔）公式。6
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
D’Alembert解的物理意义：
（9.1.11）
先讨论初始条件只有初始位移情况下D’Alembert解的物理意义。 此时式（9.1.11）给出
(9.1.3)
(9.1.4)
3
2 2u 2 u a 2 t x 2
(9.1.1)
2u u u u u 2u 2u 2u 2 2 2 (9.1.3) 2 x x x 2 2 2 2u u u u 2 (9.1.4) a 2 2 2 2 t
其中
f1 , f 2 都是任意二次连续可微函数。
4
u ( x, t ) f ( ) d f 2 ( ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) （9.1.6）
式（9.1.6）就是方程（9.1.1）的通解。 在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 f1 与 f 2 的具体形式。 为此，必须考虑定解条件。
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解

球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 2 u 1 u 1 2u 1 2u 2 2 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin a t
ut ( x, t ) |t 0 e 1.
解： 本题中
( x) cos x,
( x) e1 ,
直接应用D’Alembert 公式，有：
1 1 x at 1 u ( x, t ) cos( x at ) cos( x at ) e d 2 2a x at cos(at ) cos x t . e
2u u u u u 2u 2u 2u 2 2 2 2 x x x
2 2u 2u 2u 2 u a 2 2 2 2 t
___
___
16
__
(r at ) 0 (r at ) (at r ) 0 (at r ) 1 r at ___ u (r , t ) 1 ( )d r at 2r 2ar
令
___
___
r 0 利用L’Hospital（洛必塔）法则得到：
2 2
__
__
这是一个关于
r u (r , t ) 的一维波动方程，它的通解为：
r u (r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at )
__
__
其中
f1 , f 2 是两个二次连续可微的任意函数。
由初始条件定得：
1 ___ 1 a ___ f1 (r ) r 0 (r ) 1 ( )d C 2 a 0

对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数u本身，而 是考虑u在以M(x,y,z)为球心、以r为半径的球面上的平均 值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与r,t有关了。
这个平均值可以写成：
__
1 u (r , t ) 4 r 2
1 u( , , , t )dS 4 SM
将 u ( r , t ) 拓广到r<0的范围内，并且使 u (r , t ) u (r , t ) 。
即 u ( r , t ) 是偶函数。
__ __
__ __
___
___
0 ( r ) 与 1 ( r ) 也是偶函数。 同理，
因此，可将上式写成：
__
___
___
(r at ) 0 (r at ) (at r ) 0 (at r ) 1 r at ___ u (r , t ) 1 ( )d 2r 2ar r at
1 ___ 1 a ___ f 2 (r ) r 0 (r ) 1 ( )d C 2 a 0
15
于是
__
(r at ) 0 (r at ) (r at ) 0 (r at ) 1 r at ___ u (r , t ) 1 ( )d r at 2r 2ar
2 (ru ) 1 2 (ru ) 2 2 r a t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1 (r at ) f 2 (r at )
或
f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r

§ 6.2.2 三维波动方程的Possion公式
f1 ( x) f2 ( x) ( x)
a f1 ( x) a f 2 ( x) ( x)
5
f1 ( x) f2 ( x) ( x)
（9.1.8） （9.1.9）
a f1 ( x) a f 2 ( x) ( x)
式（9.1.9）两端对
1 x f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式

就一维波动方程建立通解公式
2 2u 2 u a 2 t x 2
一维波动方程： 作如下的变换：
(6.1.1)
x at (6.1.2) x at u u u u u 利用复合函数微分法则有： x x x
9
*§9.2 三维波动方程的Poisson公式

三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：
2 2 2 2u u u u 2 a ( 2 2 2 ) x, y, z , t 0, 2 t x y z u u t 0 ( x, y, z ), 1 ( x, y, z ). t t 0
第九章 行波法与积分变换 法
李莉 lili66@
1

求解定解问题


分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示） 行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无 界区域，但对有界区域也能应用
当u不依赖于
,
时，这个方程可简化为：
1 2 u 1 2u r 2 2 2 r r r a t
或写成
2u u r 2u r 2 2 2 2 r r a t
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2u u r 2u r 2 2 2 2 r r a t 2u u 1 2 (ru ) r 2 2 2 r r a t 2
把确定出来的 f1 ( x), f 2 ( x) 代回到式（9.1.6）中，即得到方程（9.1.1）在 条件（9.1.7）下的解：
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
（9.1.11）
1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
先看第二项，设当t=0时，观察者在x=c处看到的波形为：
( x at ) (c a 0) (c)
若观察者以速度a沿x轴的正向运动，则t时刻在x=c+at处，他所看 到的波形为：
由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的 叠加（相减）给出弦的位移。
综上所述，D’Alembert解表示正行波和反行波的叠加。
8

例1 求解下列初值问题
2 u a uxx 0 tt u ( x, t ) |t 0 cos x,
x , t 0
___ ___ ___
( x at ) (c at at ) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
7
所以 ( x at ) 代表以速度a沿x轴的正向传播的波，称为正行 波。而第一项 ( x at ) 则代表以速度a沿x轴的负向传播的波， 称为反行波。正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。
（9.1.1)化为：
2u 0
（9.1.5）
将式（9.1.5）对
再将此式对 积分，得：
u f ( ) 积分，得：
u ( x, t ) f ( ) d f 2 ( ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) （9.1.6）