高考试题分类考点空间直角坐标系空间向量及其运算
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考点37 空间直角坐标系、空间向量及其运算
一、解答题
1.（2012·北京高考理科·Ｔ16）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图
2. （1） 求证：A 1C ⊥平面BCDE ；
（2） 若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；
（3） 线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.
【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系，
建系，利用向量法求解.
【解析】（1）//,,DE BC AC BC DE AC ⊥∴⊥Q ，1,DE A D DE CD ∴⊥⊥，
111
,,A D CD D DE ACD DE AC =∴⊥∴⊥Q I 面
又11,,AC CD CD DE D AC BCDE ⊥=∴⊥Q I 面.
（2）由（1）可知，1,,CB CD AC 两两互相垂直，分别以它们为x 轴、y 轴、z 轴
建立空间直角坐标系，则1(0,0,23)A ,(0,1,3),(0,1,3),(1,2,0),M CM BE ==-u u u u r u u u r
1(3,0,23)A B =-u u u r ，设平面1A BE 的法向量为1111(,,)n x y z =u r
， 由
1111111203230n BE x y n A B x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，令11x =，得113(1,,)22
n =u r ，
A
B C D E
C B E D
A
M 图图
设所求线面角为α，则113
22
sin
22
n CMα
⋅=+=⨯⨯
u r u u u u r
，
2
sin
2
α=
，
[0,]
2
π
α∈
Q
，4
π
α
∴=
.
（3）假设存在这样的点P，设点P的坐标为(m,0,0)，04
m
≤≤3,
(0,2,0)
D,1(,0,23),
A P m
=-
u u u r
1
(0,2,23)
A D=-
u u u u r
,
设2222
(,,)
n x y z
=
u u r
为平面1A DP的法向量，由
2122
2122
230
2230
n A P mx z
n A D y z
⎧⋅=-=
⎪
⎨
⋅=-=
⎪⎩
u u r u u u r
u u r u u u u r
，
令23
z=，得2
6
(,3,3)
n
m
=
u u r
，
又11
A DP A BE
Q平面与平面垂直，
12
n n
∴⋅=
u r u u r6330
22
m
++=
，解得2
m=-（舍去）.
所以不存在点P.
2.（2012·辽宁高考理科·T18）如图，直三棱柱///
ABC A B C
-，90
BAC
∠=o，/,
AB AC AA
λ
==点M，N分别为/A B和//
B C的中点.
(Ⅰ)证明：MN∥平面//
A ACC;
(Ⅱ)若二面角/A MN C
--为直二面角，求λ的值.
【解题指南】（1）由中点联想到中位线，据中位线和底边平行，解决问题；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求λ的值
【解析】（1）连接,
AB AC
'',由已知得M为AB'的中点，又N为B C''的中点，所以MN
为三角形AB C ''的中位线，故MN ∥AC ',又MN A ACC AC A ACC '''''⊄⊂平面，平面， 因此
（2）以A 为坐标原点O ，分别以直线,,AB AC AA '为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系o xyz -，
设1AA '=，则AB AC λ==,从而(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,1),(,0,1),(0,,1)A B C A B C λλλλ'''
所以1(,0,),(,,1)
2222M N λλλ
设(,,)m x y z =u r 是平面A MN '的一个法向量，由00m A M m MN ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u u r u
r u u u u r 得1022
1022x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
取1x =，则1,y z λ=-=，故
(1,1,)
m λ=-u r
设(,,)n a b c =r 是平面MNC 的一个法向量，由0
0n NC n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得
取1b =-，则3,a c λ=-=，故
(3,1,)
n λ=--r
因为A MN C '--为直二面角，所以
0(1,1,)(3,1,)02
m n λλλ⋅=⇒-⋅--=⇒=u r r
.
3.（2012·天津高考理科·Ｔ17）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，∠BCA
==2PA AD ，=1AC .
D
C
B
A
P
(Ⅰ)证明PC 丄AD ；
（Ⅱ）求二面角A PC D
--的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为0
30，求AE的长. 【解题指南】建立空间直角坐标系应用空间向量证明垂直关系、求空间角较简捷.
【解析】方法一：如图，
以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得
A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B)0,
2
1
,
2
1
(-，P（0,0,2），
（Ⅰ）易得),
2-,1,0(
=
PC),
0,0,2(
=
AD于是0
.=
AD
PC，所以PC⊥AD.
（Ⅱ）PC(0,1,-2),
=
u u u r
CD(2,1,0),
=-
u u u r
设平面PCD的一个法向量n
r
),
,
,
(z
y
x
n=则
不妨令1
=
z，可得n
r
)1,2,1(
=，可取平面PAC的一个法向量m
u u r
)0,0,1(
=，于是
从而所以二面角A-PC-D的正弦值为
6
30
.
（Ⅲ）设点E的坐标为（0,0,h）,其中]2,0[∈
h，由此得
11
(,,),
22
BE h
=-
u u u r
由(2,1,0),
CD=-
u u u r
故
2
BE CD3
cos BE,CD
|BE||CD|1020h
<>==
+
u u u r u u u r
u u u r u u u r g
u u u r u u u r
g
，
所以
2
3
30
cos
20
10
30
2
=
=
+h
，解得
10
10
=
h，即
10
10
=
AE.。