E ()
由矢量分析中的零恒等式 0 知，静电场的
旋度恒为零，即 E 0
由斯托克斯定理知
cE dl s E·dS 0
所以 E dl 0 c 上式表明静电场是无旋场（保守场），电场强度
E沿任一闭合曲线的线积分均恒为零，静电场中不存 在旋涡源。
2.2.2 电位
1.电位
注意 电位差是绝对的，与电位零点的选择无关； 电位大小是相对的，与电位零点的选择有关.
静电场力的功 WAB q0VA q0VB q0U BA
单位：伏特（V）
原子物理中能量单位 1eV 1.602 1019 J
2.点电荷的电位
q
E 4π 0r3 r 令 V 0
q
V r 4π 0r3 r dl
q
dl
dr
E
r
qrdr
r 4π 0r3
V q
4π 0r
q 0, V 0 q 0, V 0
3.电位的叠加原理
点电荷系 E Ei
i
VA E dl Ei dl
A
iA
VA
VAi
i
i
qi
4π 0ri
电荷连续分布
VP
dq
4π 0r
q1 q2
r1 r2
8.85421012 C2
N1 m2
8.8542 10 12 F m1
F12
1
4π 0
q1q2 r122
e12
2.1.2 电场强度
1. 静电场 实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，
但其相互作用是怎样实现的？
电荷
电场
电荷
场是一种特殊形态的物质
场
物质
实物
2.电场强度
E
F
q0
电场中某点处的电场强度 E
E Ei
i
电荷连续分布情况
1 dq
r
E
dE 4π
dE
0 r2
1
4π 0
er
er r2
dq
qdq
P
dE
电荷体密度 dq
点 P处电场强度
dV
E
V
1
4π 0
er
r2
dV
电荷面密度 dq
ds
E
1 σ er ds
S 4π 0 r2
电荷线密度 dq
E
l
1
4π 0
re2rddl l
qds
r
P
dE
dl
q
r
dE
P
例 正电荷 q 均匀分布在半径为 R 的圆环上.
计算在环的轴线上任一点 P 的电场强度 .
解 E dE 由对称性有 E Exi
y
dq dl
r
( q )
2π R
qR
P
x
o
z
x
dE
1
4π 0
dl
r2
er
y dq dl ( q )
第2章、静电场与恒定电场
2.1 库仑定律 电场强度 2.2 电位 2.3 静电场中的导体与电介质 2.4 高斯定理 2.5 静电场的边界条件 2.6 泊松方程和拉普拉斯方程 2.7 电容 2.8 静电场能量与静电力 2.9 恒定电场
2.1 库仑定律 电场强度 2.1.1 库仑定律
1.点电荷模型 （d r12）
AB
V 0点
VA E dl
A
电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电位
零点，实际问题中常选择地球电位为零.
VA
E dl
A
物理意义 把单位正试验电荷从点 A移到无穷远
时，静电场力所作的功.
电位差
U AB VA VB
E dl
AB
电位差
U AB VA VB
E dl
AB
(将单位正电荷从 A移到 B电场力作的功.)
dV En dln
dl dln En El
A
4.电场强度与电位梯度
U AB （VB VA） E l
El cos
E cos El
V
El l，El
V l
B
El
E
l
A
El
lim V l l 0
dV dl
V V V
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于 这一点的电位沿该方向单位长度上电位变化率的负值.
El
dV dl
等于位于该点处的单位试验电荷
所受的力，其方向为正电荷受力
方向.
Q q0 F
Q：场源电荷 q0：试验电荷
（试验电荷为点电 荷、且足够小,故对 原电场几乎无影响）
单位 N C1 V m1
电荷 q 在电场中受力 F qE
3.点电荷的电场强度
F
1 Q
Q
r
q0
E
E q0 4π 0 r2 er Q
（3） dE 0, x 2 R
dx
2
y dq dl
qR
o
z
r
x
P x E
2R E
2
o 2R x 2
2.2 电位
2.2.1 静电场的无旋性
E(r)
V
'
(r 4
')e R 0R2
dV
'
1
4
0
(r ')( 1 )dV '
V'
R
1
4
0
V
'
(r R
')dV
'
(r)
对上式两边同时取旋度
E EApAABBEq0EAdBlqd0lE(dElq(p0E（B pBEpEBqEp0Ap0)A）) (积A分q大0 小与
B q0无关)
B点电位
VB
EpB q0
VA
EpA q0
A点电位
VA
AB
E dl
VB
（ VB为参考电位，值任选）
VA
E dl
AB
VB
令 VB 0
VA
E dl
qR
r
2π R
P
x
o
z
x
dE
1
4π 0
dl
r2
er
E l dEx l dE cos
dl 4π0r
2
x r
2π R xdl 0 4π 0r3
4π
qx
0(x2
R2 )3
2
E
qx
4π 0(x2 R2)3 2
讨论
（1） x R
q
E 4π 0x2
（点电荷电场强度）
（2） x 0, E0 0
q3
r3
E3
E2
A
E1
dqqdrqP
dV
dE
讨论
求电位 的方法
➢ 利用
VP
dq
4π 0r
（利用了点电荷电势 V q / 4π 0r，
这一结果已选无限远处为电位零点，即使
用此公式的前提条件为有限大带电体且选
无限远处为电势零点.）
E ➢ 若已知在积分路径上 的函数表达式，
则
V 0点
VA E dl
r
E q0
E
Q
E Q
r 0 E ?
4.电场强度的叠加原理
点电荷 qi 对q0 的作用力
Fi
1
4π 0
qi q0 ri3
ri
q1
q2 q3
r1 r2
r3
F3
F2
q0
F1
由力的叠加原理得 q0
故 q0 处总电场强度
E所 受 合F力
F Fi
i
Fi
q0 i q0
电场强度的叠加原理
q1
r12
F21
F12
q2
d
F21
q1
r12
q2
F12
2. 库仑ห้องสมุดไป่ตู้律
F12
k
q1q2 r122
e12
F21
k 8.98755 109 N m2 C2
库仑定律
F12
k
q1q2 r122
e12
F21
库仑力遵守牛顿第三定律
令 k 1
4π 0
（ 0 为真空电容率）
0
1 4π k