中考压轴题系列动态几何之面动形成的函数关系问题Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题26：动态几何之面动形成的函数关系问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。
本专题原创编写面动形成的函数关系问题模拟题。
面动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动面（包括平移和旋转），或由点动、线动形成面动，并对面在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究在中考压轴题中，面动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1. 如图，点G 、E 、A 、B 在一条直线上，等腰直角△EFG 从如图所示是位置出发，沿直线AB 以1单位/秒向右匀速运动，当点G 与B 重合时停止运动。
已知AD=1，AB=2，设△EFG 与矩形ABCD 重合部分的面积为S 平方单位，运动时间为t 秒，则S 与t 的函数关系是 。
【答案】()()()221t t 0t 121S 1<t 2219t 3t 2<t 322⎧-+≤≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩。
【考点】面动问题的函数图象，矩形和等腰直角三角形性质，数形结合思想和分类思想的应用。
【分析】分三种情况讨论：如图1，当点G 在点A 左侧，点E 在点A 右侧时， 此时0≤t ≤1，AE= t ，GA PA 1t ==-∴()()2111S PA FE AE 1t 1t t t 222=⋅+⋅=⋅-+⋅=-+。
如图2，当点G ，E 在点A ，B 之间时， 此时1t ≤2， ∴111S GE AE 11222=⋅⋅=⋅⋅=。
原创模拟预测题2. 如图，已知直线121+-=x y 交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ．（1）请直接写出点D C ,的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；【答案】（1）)3,1(),2,3(D C ；（2）1617652++-=x x y ；（3）当01t <≤时，211555224FB G t S FB GB t t '''=⨯=⨯=△ 当12t <≤时，''1'')''2A B HG S A G B H A B =+⨯梯形（5)25255(21⨯+-=t t 4525-=t ； 当23t <≤时，22'''3555)2GA B C H t S -=-五边形（）（=425215452-+-t t ． 【解析】抛物线过点),1,0()3,1(),2,3(，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.239,3,1c b a c b a c 解得5,617,61.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴1617652++-=x x y ；（3）①当点A 运动到点F 时，,1=t当01t <≤时，如图1，∵'OFA GFB ∠=∠，∴21524FB G S FB GB t '''=⨯==△； ②当点C 运动到x 轴上时，2=t ， 当12t <≤时，如图2，Hx图③当点D 运动到x轴上时，3=t ， 当23t <≤时，如图3，∵11212AOF S =⨯⨯=△，1OA =，AOF GD H '△∽△2GD H AOF S GD S OA ''⎛⎫∴= ⎪⎝⎭△△， 22GD HS '⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭△，考点：二次函数的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．原创模拟预测题3. 如图，长是2宽是1的矩形和边长是1的正三角形，矩形的一长边与正三角形的一边在同一水平线上，三角形沿该水平'线自左向右匀速穿过矩形。
设穿过的时间为t ，矩形与三角形重合部分的面积为S ，那么S 关于t 的函数大致图象应为 【 】A ．B ．C ．D ．【答案】A 。
【考点】动面问题的函数图象，矩形和等边三角形的性质。
故选A 。
原创模拟预测题4. 如图，平面之间坐标系中，Rt△ABC 的∠ACB=90o，∠CAB=30o，直角边BC 在x 轴正半轴上滑动，点C 的坐标为（t ，0），直角边AC=23，经过O ，C 两点做抛物线()1y ax x t =-（a 为常数，a ＞0），该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx （k 为常数，k ＞0）（1）填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，当a=1时：①请你验证：抛物线()1y ax x t =-的顶点在函数2y x =-的图象上； ②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值。
【答案】（1）（t ，23）；23k =（k ＞0）。
（2）①当a=时1，()21y x x t x tx =-=-，其顶点坐标为2t t 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，。
对于2y x =-，当x=t 2时，22t t y 24⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。
∴点2t t 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线21y x 4=-上。
∴当a=14时，抛物线()1y ax x t =-的顶点在函数21y x 4=-的图象上。
②如图，过点E 作EK⊥x 轴于点K ， ∵直角边AC=23，∴另一直角边CB=2。
∵AC⊥x 轴，∴AC∥EK。
∵点E 是线段AB 的中点，∴K 为BC 的中点。
∴EK 是△ACB 的中位线。
∴EK=12AC=3，CK=12CB=1。
∴E（t+1，3）。
∵点E 在抛物线()1y x x t =-上，∴()()t 1t 1t 3++-=，解得t 31=-。
∴当三角板滑至点E 为AB 的中点时，t 31=-。
【考点】面动平移问题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，三角形中位线定理，含30度直角三角形的性质。
原创模拟预测题5. 如图（1），Rt△ABC 和Rt△EFD 中，AC 与DE 重合，AB=EF=1，∠BAC=∠DEF=90o，∠ ACB=∠EDF=30o，固定△ABC，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止。
现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2)（1）问：始终与△AGC 相似的三角形是 ▲ ； （2）设CG=x ，BG=y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）问：当x 为何值时，△HGA 是等腰三角形。
【答案】（1）△HGA。
（2）∵∠BAC =90o，∠ ACB =30o，AB =1，∴BG CG BC +=，即y x 2+=。
∴y 2x =-。
又∵BC=2，∴0x 2<<。
∴y 关于x 的函数关系式为()y 2x 0x 2<<=-。
（3）由（1）知，△AGC∽△HGA，若△HGA 是等腰三角形，则AGC 也是等腰三角形。
所以分两种情况：①当CG=AG 时，AG 是Rt △ABC 斜边上的中线， 此时，x=CG=12BC=1。
②当CG= CA 时3∴当x=1或x 3是等腰三角形。
【考点】面动旋转问题，含30度角直角三角形的性质，三角形内角和外角性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。
（3）考虑CG=AG和CG= CA两种情况分别求解即可。
原创模拟预测题6.如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B （A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t 的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2。
过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：2222BC OB OC3332=+=+；在Rt△CND中，由勾股定理得：2222=+=+CD CN DN112在Rt△BMD中，由勾股定理得：2222=++BD BM DN2425∵BC2+CD2=BD2，∴根据勾股定理的逆定理，得△CDB为直角三角形。
∵B （3，0），D （1，4），∴3m n 0m n 4+=⎧⎨+=⎩，解得：m 2n 6=-⎧⎨=⎩。
∴直线BD 的解析式为y=﹣2x+6。
连接CQ 并延长，射线CQ 交BD 于点G ，则G （32，3）。
在△COB 向右平移的过程中： ①当0＜t≤32时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK=CQ=t ，PB=PK=3﹣t ．②当32＜t＜3时，如答图3所示，设PQ分别与BC、BD交于点K、点J，∵CQ=t，∴KQ=t，PK=PB=3﹣t。
直线BD解析式为y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t。
∴J（t，6﹣2t）。
∴S=S△PBJ﹣S△PBK=12PB?PJ﹣12PB?PK=12（3﹣t）（6﹣2t）﹣12（3﹣t）2=12t2﹣3t+92。
综上所述，S与t的函数关系式为：S=2233t3t0<t22S193t3t<t<3222⎧⎛⎫-+≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+⎪⎪⎝⎭⎩。