2015-2016学年第一学期立体几何测试高二理科数学参考公式:圆柱的表面积公式：S =2二r2• 2二rl，圆锥的表面积公式：S =加•二rl 台体的体积公式V = -（S , S S S）h，球的表面积公式：S=4「：r23圆台的表面积公式S -…r2亠，R2亠巾亠■ Rl，球的体积公式：V =里二r33 一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列四个几何体中，是棱台的为（）Ah B2.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是3.给出下列命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②若直线a, b, c满足a // b, b丄c,贝U a丄c;③若直线l-, I2是异面直线，则与l-, I2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（）A . 1B . 2 C. 3 D. 44.空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）A. 96B. 136C. 152D. 1925 •若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切，则该球的体积为A.■ --：3nC.2 n127t6.对于直线m, n和平面a 3,能得出a丄3的一个条件是（A. m丄n, m〃 a, n〃 3B. m± n, aA 3=m, n? aC. m // n, n丄 3, m? a D . m / n, m丄 a, n丄37.—个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 10 n + 96B. 9 n + 96C. 8 n + 96 D . 9 n + 804~~I FT斗t 41i j-I24_I F疋视图侧视图傭視图& m,n是空间两条不同直线，a , 3是空间两个不同平面，下面有四种说法：其中正确说法的个数为( )①ml a ,n /3 , a / 3 ? m±n;②ml n, a / 3 ,m± a ? n/ 3 ；③ml n, a / 3 ,m // a ? n! 3 ；④ml a ,m / n, a / 3 ? n! 3 .A.1B.2C.3D.411111III11 \111 kAMt图/V11 •如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱 的长度为（）A .6.2B .4'2C .6D .412.已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上 形，SC 为球O 的直径，且SC = 2,则此棱锥的体积为（9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A. 560 3 厂580 B. 3 C.200 D.2404)1010•如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 （表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视ABC 是边长为1的正三角A.B.乜C.辺D.辽6 3 2）14•正四棱台的上底为边长为 2的正方形, 梯形，侧棱长为3，则此四棱台的体积为15.己知棱长为2,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC 的四个顶点都在一个球面上,则该四面体的表面积为 ___________ ,该球的体积为 _________________________________16•已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH : HB =1: 2 , AB —平面:,H 为垂足，〉截 球O 所得截面的面积为 兀，则球O 的表面积为 ________ 。
二、填空题（每小题 5分，共20分）13 •某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为 ________ •E正视图侧视图下底为边长为____________________ ?三、解答题(17题10分，其余各题12分，共70分)17•已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8,高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形•求：(1)该几何体的体积V;⑵该几何体的侧面积S.18、如图3, AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA _平面ABC(1)求证：BC丄平面PAC(2)若AE丄PC , E为垂足，F是PB上任意一点，求证：平面AEI丄平面PBC19.如图，在正方体ABCD — AjBCjU中，E是AA的中点。
(1)求证：AC〃平面BDE 。
(2)求直线AC与平面AA1D1D所成角余弦值。
20•如图，在四棱锥O -ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，.ABC =45°, 0A_底面ABCD,0A=2,M为OA的中点,(1)证明：直线MN ||平面OCD ；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小；21•如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD , AE _平面CDE，且AE =3, AB =6 •(1)求证：AB _平面ADE ；(2)求凸多面体ABCDE的体积.22 •如图，AB是圆0的直径，点C是圆0上异于代B的点，乂)垂直于圆0所在的平(I)若D为线段AC的中点，求证：二C _平面(n)求三棱锥P - ABC体积的最大值；(川)若BC =92，点E在线段PB上,求CE 0E的最小值. A E参考答案1-5:CCBCB 2-10:CCBCC 11-12:CA10；加工前的零件半径为3,高6,.体积V i = 9 n6=54n.寫加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2,高4,右半部为大圆柱，半径为3,高为2. .体积v 2 =4 *4 9n 2 =34n..削掉部分的体积与原体积之比二54n 34n 10故选c. 54 n 2711.【旦忻】由止％图 恻札卦 為视怪壮忙 "I 断计・何车为口血匚 且吕迎匸的匕 贯 咼士.；为- -iW位，故可琴虑苴于據长沖4牛单位的正方体中研宅 如图所乔，四而体为D-ABC.且AB = BC = 4 心4近 DB = DC=2^.故最长的换长为柠二，.距离d-L 待SC 为球O 的直径=点S 到面ABC 的距离为2d 二317.由已知该几何体是一个四棱锥 P — ABCD ，如图所示.由已知，AB = 8, BC = 6，高 h = 4,12.【解析】AABC 的外接圆的半径 1此棱锥的体积为V =13S.A BC 2d 1 、3 2.6 = 、2 3 4 3 6 1：：'3 SABCB,C,D13.2n14. 316.迂，点。
到面ABC 的由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点0,连接P0,则P0= 4，即为棱锥的高.作0M丄AB于M , 0N丄BC于N,连接PM、PN，贝U PM丄AB, PN丄BC.••• PM = P02+ 0M2= 42+ 32= 5,PN = P02+ 0N2= /2+ 42= 4 2.1 1（1）V = §Sh= 3X（8 x6）X 4= 64.⑵S 侧=2S°PAB+ 2S^PBC = AB PM + BC PN=8X 5+ 6X 4 2= 40 + 24 2.18、证：（1）••• PA 丄平面ABC B8 平面ABC•BC _ PA••• AB是圆O的直径，C是圆周上一点•EC _ AC又PA AC = A , PA 平面PAC,AC 平面PAC•BC丄平面PAC⑵ 由（1）知BC丄平面PAC又AE 平面PAC•AE _ BC又 T AE丄PCBCCpc=C,BCU 平面PBC. PC^ 平面PBC ••平面AEF 丄平面PBC.19.证：（1）连接AC交BD于O,连接EO•/ AC与BC是正方形ABCD的对角线•••点0的AC的中点，又E的AA的中点，•0E〃AC又0E二平面BDE , A,c二平面BDE•AC // 平面BDE。
（2）连接AD••• CD —平面ADDA• AD是AC在平面ADD1A1的射影• CA,D是直线AD与平面ADD1A1所成的角,设正方体 ABCD - ABC i D i 的边长为a在直角三角形 CA|D 中，A|D = p2a , AC = P3a ,cosN CAD =°D =二2? = "6AC 13a 320. (1)取 OD 中点 E ,连接 ME , CE 。
因为M 为OA 中点，所以ME 是三角形OAD 的中位线 、ME //1AD 所以 2BN 〃 1 AD所以 =2//BN ME 所以 所以四边形MNCE 是平行四边形所以MN//CE 又因为MN U 面OCD ， CE U 面OCD 所以MN //面OCD ⑵连接MC ，AC 因为AB//CD 所以.CDM为所求角或其补角。
AC 2 =1 +1 _2*=2_血 在三角形ABC 中，2MC 2=3_、2， MD 2=2，CD 2=1，21.证明：（1）v AE —平面 CDE ，CD 平面 CDE ，.•. AE — CD . 在正方形 ABCD 中，CD_ AD ， v AD 门 AE 二 A ，「. CD _ 平面 ADE .因为底面ABCD 是菱形，N 为BC 中点, cos^CDM所以2 1-3 、2 =1 2* 2*1 2，所以.CDM -6Q 0,所以所求角为600O过点E 作EF _ AD 于点F ,••• AB _ 平面 ADE , EF 平面 ADE• EF_ AB . •/ AD" AB = A ,• EF —平面ABCD .•/ AD EF =AE DE ,AE DE 3 33 3、 3 又正方形 …VABCDEADABCD 的面积S ABCD=36,= VE-ABCD' SABCD3EF 」36-18.3 . 32故所求凸多面体 ABCDE 的体积为18-、3 .解法 2：在 Rt △ ADE 中，AE =3, AD = 6 , • DE h$AD 2匚AE2= 3、3 .连接BD ，则凸多面体 ABCDE 分割为三棱锥 B -CDE 和三棱锥B - ADE .1 1由(1)知，CD _ DE . • S CDE CD DE 6 3,3=9 3 .2 2又 AB 二 CD , AB 二平面 CDE , CD 二平面 CDE ,• AB 平面 CDE .•••点B 到平面CDE 的距离为AE 的长度.VB -CDE 二3 S C DEAE =丄 9-3 3 = 9^3 . °3•/ AB _ 平面 ADE1 1 93■-，• V"十3S ADE AB匚-y6®3.• V ABCDE 二 V B _CDE V B )DE =9 ；3 9、、3=18 3 . 故所求凸多面体 ABCDE 的体积为18、3 . 22 . （ 15年福建文科）••• AB . . CD ,••• AB _ 平面 ADE .(2)解法 1:在 Rt △ ADE 中，AE =3,•- DE 二、AD 2二AE 2=3、3 .AD =6 ,AEBAED分析：(I)要证明-C _平面PDC ,只需证明AC垂直于面扣「)内的两条相交直线.首先由乂［垂直于圆所在的平面，可证明；；'■；；,二c ;又-OC , D为_=C的中点，可证明.-C_ QD ,进而证明结论；(n)三棱锥P 一ABC中，高PO =1,要使得P - ABC 体积最大，则底面ABC面积最大，又AB=2是定值，故当AB边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥P-ABC体积；(川)将侧面mcm绕申旋转至平面，使之与平面3共面，此时线段oc'的长度即为CE OE的最小值.证明：(I)在.rec中，因为「2 - OC , D为ZC的中点,所以.-.C_ 0D .又乂)垂直于圆0所在的平面，且AC 面ABC ,所以?0 _ .-.C .因为Dd - O , DO , O,二面 PDO所以ZC _平面PDO .(II)因为点c在圆0上，所以当CC .二三时，C到Jz：■的距离最大，且最大值为1 .———— 1又丄三=2，所以.“2C面积的最大值为丄2 1=12又因为三棱锥? - 2 C的高-1 ,1 1故三棱锥- -me体积的最大值为-1 1 =-.3 3(III )在.込叮已中,E - 03 -1，.旳2 - 90；,所以考二二12 V2「2 .同理m c=远，所以「心-;c -:ic.在三棱锥■' - -me中，将侧面PC?绕工Z：■旋转至平面3C?，使之与平面亠共面, 如图所示.当o, ；：, c共线时，取得最小值.又因为「心-c)3 , c m二c三，所以oc •垂直平分mm,即上为七中点•从而门c -「比1.^——6 ,2 2 2亦即C「门:的最小值为、'2「左.2解法二：（I）、（II）同解法一.（III）在.m 中，旳-C）3 -1，:03 - 90；,所以.d - 45，疋-.1212 = .2 •同理PC =寸2 •所以？三=?^BC，所以• CP2二60 •在三棱锥? - 2C中，将侧面2CP绕旋转至平面：^C?，使之与平面共面, 如图所示.当o, ；：, C•共线时,C「「）i.取得最小值.所以在中，由余弦定理得：0C2 =1 2 -2 1 2 cos 45 60‘：=1 2- 2一2 '2 1一2 ' 3 J 2 2 22 丿= 2.3 •从而匸；d2「3上6•2所以C「C）!■的最小值为/ - •2。