江苏省南通市通州区金沙中学2020-2021学年高二上学期10月阶段测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．数列1,3,5,7--的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．()()1121n n a n +=-⨯-C ．()()121nn a n =-⨯-D ．()()121nn a n =-⨯+3．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋＋|a 6|＝（ ）A ．9B ．15C ．18D ．304．在正项等比数列{}n a 中，若63a =，则313233311log log log log a a a a ++++=（ ）． A ．5B ．6C ．10D ．115．我省高考从2021年开始实行3+1+2模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为（ ） A ．16B ．12C ．56D ．346．设等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S m +=+，则n a =（ ）A ．2nB ．132n -⋅C ．152n -⋅D ．32n ⋅7．已知圆C 与直线0x y +=及20x y ++=均相交，若四个交点围成的四边形价为正方形，则C 的半径为（ ）A ．3BC ．2D ．18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且72nn S m -=-，若121n nb a a a =⋅⋅⋅，则数列{}n b 中最小的项为（ ）A ．5bB ．6bC ．7bD ．6b 或7b9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11518,6115S S a =-=-，则n S 取最大值时的n 的值为（ ） A ．4 B ．5C ．4或5D ．5或6二、多选题10．甲、乙、丙三家企业产品的成本（单位：元）分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是乙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业11．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项正确的是（ ） A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为812．已知圆O ：224x y +=和圆C ：22231x y .现给出如下结论，其中正A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y -+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y -+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ33 13．已知数列{a n }满足a 1＝﹣11，且3（2n ﹣13）a n +1＝（2n ﹣11）a n ，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{a n }的前10项都是负数B ．数列{a n } 先增后减C ．数列{a n } 的最大项为第九项D ．数列{a n }最大项的值为172914．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知1匹=4丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（ ） A ．1058b b = B ．{}n b 是等比数列 C ．130105a b =D ．357246209193a a a a a a ++=++三、填空题15．过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.16．在数列{}n a 中，2a 5=，()n n 1n a a 2n N*+-=∈，则数列{}n a 的通项n a =______．17．对于任意一个偶数m ，都存在奇数n 及正整数t ，使得2t m n =⋅，我们把n 称为m 的“奇因子”．若数列{}n a 的通项公式为2222n n n a n +=⋅-，则该数列的前n 项的“奇因子”的倒数之和为________18．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得nna b 为整数的正整数n 的值为___________.四、双空题19．已知圆221:1C x y +=和圆()()()2222:430C x y r r -+-=>外切，则r 的值为__________，若点()00,A x y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最大值为__________．五、解答题20．已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥. （1）当1a =时，求,AB A B ；（2）设0a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n +=+，*N n ∈. （1）证明：数列{1}na -为等比数列；（2）若数列{}n b 满足：11n n n a b b +=-+，11b =，证明：2n b <.22．某市2020年发放汽车牌照14万张，其中燃油型汽车牌照12万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2020年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型的牌照的数量维持在这一年的水平不变． （1）记2020年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式．（2）从2020年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过100万张？ 23．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1a 、3a 、9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项；（2）求数列{}2na 的前n 项和nS；（3）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a n =+-. （1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的n 项和n T ．25．在①22430a b b ++=，②44a b =，③327S =-这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ， ___________，51a b =，431n n T b =-（*n ∈N ），是否存在实数λ，对任意*n ∈N 都有n S λ≤？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）26．在①2n S n n =+，②353516,42a a S S +=+=，③171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_________，12112,2a ab a b ==. 求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 27．在①131n n S S +=+，②219a =，③1213n n S a +=-，三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足__________，__________；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且123,1,b b b -成等比数列. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）证明12326n b b b a a a +++<28．数列{}n a 中，13a =，26a =，其前n 项和为n S ，且()11(2)n n n n n a a S a a n ++-⋅=⋅≥．（1）求证：数列{}n S 是等比数列，并求数列{}n S 的通项公式；（2）设()()1211nn n n S b S S +=--，求数列{}n b的前n 项和为n T ．参考答案1．B 【分析】求出11x -<的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<．故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件． 故选B ． 【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 2．C 【分析】根据数列每一项正负的变化以及数列每一项绝对值的变化规律，即可直接写出通项公式. 【详解】由该数列的正负变化，以及数列每一项绝对值的变化规律， 通过观察法即可容易得到：()()121nn a n =-⨯-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用观察法求数列的通项公式，属基础题. 3．C 【分析】根据定义知数列{a n }为等差数列，求出等差数列的通项公式后得到前6项代入即可求得结果. 【详解】因为a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是以d =2为公差的等差数列，又a 1＝－5， 所以1(1)52(1)27n a a n d n n =+-=-+-=-，所以22273a =⨯-=-，32371a =⨯-=-，42471a =⨯-=，52573a =⨯-=，62675a =⨯-=，所以|a 1|＋|a 2|＋＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式，属于基础题. 4．D 【分析】根据对数的运算法则以及等比中项可求得结果. 【详解】因为63a =，且{}n a 为等比数列，所以21112103948576a a a a a a a a a a a =====23=，所以()113132333113123113log log log log log log 311a a a a a a a a ++++===.故选：D. 【点睛】本题考查了对数的运算法则，考查了等比中项的应用，属于基础题. 5．C 【分析】利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法；由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有6636N =⨯=种，由此利用对立事件概率计算公式能求出她们的选科至少有一科不相同的概率. 【详解】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有：{化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理}共6种选法.由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有6636N =⨯=种，其中两人的选科完全相同的选法有6种，所以的选科至少有一科不相同的概率为635166P =-=. 故选：C 【点睛】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解． 6．A 【分析】根据公式11(2)(1)n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩求解即可.【详解】解：当2n ≥时，()()11122222n n n n n n n n a S S m m ++-=-=+-+=-=；当1n =时，21124a S m m ==+=+所以11222n n n n a q a ++===；所以221224a q a m===+，解得2m =-， 所以12a =，满足2(2)nn a n =≥.所以2nn a =.故选：A. 【点睛】本题主要考查已知n S 求n a ，属于基础题. 7．D 【分析】正方形的对角线即圆的直径，求出对角线的长即可得到本题答案. 【详解】因为直线0x y +=与直线20x y ++=互相平行，所以两直线之间的距离d ==由题意，圆C 与两直线相交，四个交点围成的四边形为正方形， 则两平行线之间的距离即为正方形的边长，正方形的对角线即圆的直径． 设圆的半径为r ，有()2222r =+，解得1r =，故选：D 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，属于中档题． 8．D 【分析】由1n n n a S S -=-，求出7a ，6a ，从而求出数列{}n a 的通项公式，再根据121n nb a a a =⋅⋅⋅计算可得； 【详解】解：因为72nn S m -=-，所以7761a S S =-=，6652a S S =-=.因为数列{}n a 是等比数列，所以12q =，即7772n n n a a q--==，所以()1321212n n n nb a a a -==⋅⋅⋅，所以当6n =或7时，n b 最小， 故选：D . 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 9．C 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，求出nS n可解出d ，将等差数列前n 项和公式和二次函数的性质相结合可得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2188222n n n d d S n d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，∴822n S d dn n =+-，得511582836115S S d d d -=+--==-，解得2d =-， ∴222981892224n d d S n n n d n ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得当4n =或5时，n S 取最大值， 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值，考查数列的通项，属于中档题. 10．AD 【分析】由扇形统计图提供的信息，整合数据，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，丙企业是成本最大的企业，故A 正确； 对于B ，甲企业费用支出为10000×5%=500（元）， 乙企业费用支出为12000×17%=2040（元），丙企业费用支出为15000×15%=2250（元），故丙企业的费用支出最高，故B 错误； 对于C ，甲企业支付工资为10000×35%=3500（元）， 乙企业支付工资为12000×30%=3600（元），丙企业支付工资为15000×25%=3750（元），故甲企业的支付工资最少，故C 错误； 对于D ，甲企业材料成本为10000×60%=6000（元）， 乙企业材料成本为12000×53%=6360（元），丙企业材料成本为15000×60%=9000（元），故丙企业的材料成本最高，故D 正确； 故选：AD ． 【点睛】本题考查了扇形统计图的应用，考查了数据处理的能力，属于基础题. 11．ABD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，求得13a d =-，根据数列{}n a 是递增数列，得到A 、B 正确；再由前n 项和公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解． 【详解】解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得1163(4)a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故A 、B 正确； 因为2217()2222n d d d d S n a n n n =+-=-， 由7722dn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确． 故选：ABD ． 12．AD 【分析】对于A ，先由已知判断两圆的位置关系，从而可判断两圆的公切线的条数； 对于B ，截距相等可以过原点或斜率只能为1-，从而可得直线方程； 对于C ，由于点C 在圆O 外，所以过点C 与圆O 相切的直线有两条；对于D ，PQ 的最大值为圆心距与两圆半径的和，最小值为圆心距与两圆半径的差， 【详解】解：由题意可得，圆O ：224x y +=的圆心为(0,0)O ，半径12r =，圆C ：22231x y 的圆心(2,3)C ，半径21r =,因为两圆圆心距1221OC r r =>+=+， 所以两圆相离，有四条公切线，A 正确；截距相等可以过原点或斜率只能为1-，B 不正确； 过圆外一点与圆相切的直线有两条，C 不正确；PQ 的最大值等于12OC r r ++，最小值为12OC r r --，D 正确.故选：AD 【点睛】此题考查两圆的位置关系的有关性质，属于基础题 13．BD【分析】 将等式整理成()12111,632133211n n n n a a a n N n n *+-==∈---，判断163211n --的符号，进而分析各个选项即可. 【详解】对于A ，将等式整理得()12111,632133211n n n n a a a n N n n *+-==∈---， 当163211n >--，解得112n <或132n >， 1063211n <--，解得6n =，a 1＝﹣11，则数列前6项都为负，第七项为正，之后都为正，故A 错误；对于B ，对所有的n *∈N ，当112n <时，满足10163211n <<--时，1a 为负，{}1,2,3,4,5n ∴∈时，1a 乘以一个小于1的正数，n a 一直增加；当5n =时，()655110337a a a -==<⨯-，当6n =时， 76103a a =>-，当7n ≥时，7a 为正数， 6a 乘以一个小于1的正数，n a 在减少，故B 正确；对于C ，数列{a n } 的最大项为第七项，故C 错误； 对于D ，7654111111339395a a a a =-=-⨯=-⨯⨯32111511157395213952127a a =-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯11115731395212711729a =-⨯⨯⨯⨯⨯=，故D 正确；故选：BD 【点睛】本题考查了数列的增减性、最大项，考查了数列的基本性质，属于中档题. 14．BD 【分析】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，求出1629d =，再证明数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；1058b b ≠，A 选项错误；2113052105a b =⨯>，C 选项错误；357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =， 由题意可得130********d a ⨯+=，解得1629d =，()116129129n n a a n d +∴=+-=， 2na nb =，1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===（非零常数）， 则数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；16805532929d =⨯=≠，()553105222dd b b ==≠， 1058b b ∴≠，A 选项错误； 3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=， 51162094542929a a d =+=+⨯=， 所以357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确；故选：BD. 15．【详解】最短弦为过点()3,1与圆心连线的垂线与圆相交而成，d ==所以最短弦长为==【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度. 16．n 21+ 【分析】由递推关系累加求和即可求解. 【详解】由题意可得：n 1n n 1n 2n 1n 221a a 2a a 2a a 2-----⎧-=⎪-=⎪⎨⋯⎪⎪-=⎩，利用累加法， 得：()n 1nn 1221a a 2221---==--，1a 3=，于是：nn a 21=+．故答案为n 21+ 【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式，是基础题. 17．21nn + 【分析】 将2222n n n a n +=⋅-化简整理为()22222241n n n n a n n +=⋅-=-，可得奇因子为241n -，然后用裂项求和法求2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和. 【详解】 因为()22222241n n n n a n n +=⋅-=-，所以奇因子为241n -， 所以奇因子”的倒数为2141n -，即11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭其前n 项和为111111*********212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭， 故答案为：21nn + 【点睛】本题主要考查了裂项相消求和，读懂题意最关键，属于基础题. 18．2、4、14 【分析】利用等差数列前n 项和公式求得n n a b 的表达式，结合nna b 为整数求得正整数n 的值. 【详解】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++， 由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故答案为：2、4、14 19．4 5 【分析】（1|1|r =+即得解；（2）先求出22001y x =-，代入220004x y x +-化简解答最大值.【详解】（1|1|,4r r =+∴=.（2）点()00,A x y 在圆1C 上，所以2222000011x y y x +=∴=-，， 所以2200004=14x y x x +--，因为011x -≤≤，所以220004x y x +-的最大值为5.此时01x =-.故答案为： (1). 4 (2). 5 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系，考查点和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．（1）{}23A B x x ⋂=≤<，{}13A B x x ⋃=<≤；（2）12a <<. 【分析】（1）1a =时，求出集合A 与集合B ，利用集合运算性质即可得出．（2）0a >时，(,3)A a a =，[2B =，3]．根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，可得BA ，即可得出．【详解】解：（1）当1a =时，{}{}2|430|13A x x x x x =-+<=<<，集合B {|23}x x =≤≤，所以{|23},{|13}A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=<≤.（2）因为0a >，所以{}|3A x a x a =<<，B {|23}x x =≤≤， 因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以BA ，所以2,33,a a <⎧⎨>⎩解得：12a <<.【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先得111(2)n n S a n n --+=+≥，两式相减即可构造出111(2)12n n a n a --=≥-，进而可得结论；（2）由（1）得112n n a =+，利用累加法即可得出1122nn b -=-，进而可得结论. 【详解】（1）由题知：112,1(2)n n n n S a n S a n n --+=++=+≥ 两式相减得121(2)n n a a n --=≥ 所以12(1)1(2)n n a a n --=-≥，111(2)12n n a n a --=≥-又因为113S a +=，所以132a =因为11102a -=≠， 所以数列{1}na -是首项为12，公比为12的等比数列 （2）由（1）知：112n na -=，得112nn a =+ 所以1112n n n na b b +-=-=所以12132121111()()()1222n n n n b b b b b b b b --=+-+-++-=++++， 所以11222n n b -=-< 【点睛】本题主要考查了等比数列的证明以及用累加法求数列的通项公式，属于中档题.22．（1）32311,3, 4.5a b b ===，0.512.5,1250,26n n n a n -+≤≤⎧=⎨≥⎩（n 为正整数）；132,1,2,324.5,4n n n b n -⎧⎛⎫⨯=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩（n 为正整数）；（2）2026年 【分析】（1）利用列表法，结合等差、等比数列的通项公式，求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）根据（1）中表格数据得出结论.【详解】（1）依题意列表如下：根据表格数据可知，112,0.5a d ==-，311a =， 令()110n a a n d =+-=，即()()1210.50.512.50n n +-⨯-=-+=，解得25n =. 所以0.512.5,1250,26n n n a n -+≤≤⎧=⎨≥⎩（n 为正整数）.由表格数据可知，132,2b q ==，233, 4.5b b ==， 所以132,1,2,324.5,4n n n b n -⎧⎛⎫⨯=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩（n 为正整数）.（2）由（1）表格可知2026年超过100万. 【点睛】本小题主要考查等差、等比数列在实际生活中的应用，属于中档题.23．（1）n a n =；（2）n 1n S 22+=-；（3）1nn +. 【分析】（1）本题可通过等比中项的相关性质得出1218112d dd++=+，然后通过计算得出公差1d =，即可得出结果；（2）本题可根据（1）得出22n a n =，然后根据等比数列前n 项和公式即可得出结果； （3）可通过裂项相消法求和得出结果. 【详解】（1）由题意可知公差0d ≠，因为11a =，1a ，3a ，9a 成等比数列， 所以1218112d dd++=+，解得1d =或0d =（舍去）， 故{}n a 的通项()111n a n n =+-⨯=. （2）由（1）可知22n a n =， 由等比数列前n 项和公式可得：()23121222222212n n n n S +-=+++⋅⋅⋅+==--.（3）因为11n n n b a a +=，所以111(1)1nb n n nn ，123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+11111111223341nn1111nn n =-=++. 【点睛】本题考查数列的通项以及数列前n 项和的求法，考查等比数列前n 项和公式，考查裂项相消法求和，考查计算能力，是中档题.24．（1）证明见解析；（2）()121nn T n =-⋅+.【分析】 （1）通过证明11n n a a ++为常数，即可证明数列{}1n a +为等比数列.（2）根据（1）求出数列{}n a 的通项式，带入()1n n b n a =+，利用错位相减法即可求出数列{}n b 的n 项和n T . 【详解】解：（1）因为21n n S a n =+-，①所以()()112112n n S a n n --=+--≥.② 当2n ≥时，由①-②得121n n a a -=+，即()1121n n a a -+=+，所以()11221n n a n a -+=≥+.当1n =时，11=2S a ，即110,11a a =+=，所以数列{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知112n n a -+=所以()112n n n b n a n -=+=⋅所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，③ 则12321222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，④由③-④，得()0121121212122121n n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯=--，所以()121nn T n =-⋅+.【点睛】本题主要考查了数列通项的求法，以及求数列前n 项和中的错位相减法，属于中档题. 25．答案见解析. 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，当1n =时，求出11b =-，当2n ≥时，利用1n n n b T T -=-，代入递推公式即可求出13n n b b -=-，进而得到()13n n b -=--；由题意推导出等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，得到10k k a a +≤⎧⎨≥⎩；（1）若补充条件是22430a b b ++=，利用已知条件求出2,a d ，得到n a ，求出n S 的最小值即可得出结论；（2）若补充条件是②44a b =，利用已知条件求出5,a d ，得到n a ，利用10k k a a +≤⎧⎨≥⎩，代入求解即可；（3）若补充条件是③327S =-，利用已知条件求出2,a d ，得到n a ，利用10k k a a +≤⎧⎨≥⎩，代入求解判断即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 当1n =时，11431T b =-， 得11b =-， 从而51a =-，当2n ≥时，()()111444313133n n n n n n n b T T b b b b ---=-=---=-， 得13n n b b -=-，所以数列{}n b 是首项为1-，公比为3-的等比数列， 所以()13n n b -=--，由对任意*n ∈N ，都有n S λ≤，可知等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，假设n k =时，n S 取最小值，所以1110k k k k k k S S a S S a -++≥≤⎧⎧⇔⎨⎨≤≥⎩⎩；（1）若补充条件是①22430a b b ++=， 因为23b =，427b =， 从而()2241103a b b =-+=-， 由523a a d =+得3d =，所以()()()12121032316n a a n d a n d n n =+-=+-=-+-=-， 由等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，又*k ∈N ，所以5k =，所以535S λ≤=-，故实数λ的取值范围为(],35-∞-. （2）若补充条件是②44a b =，由427b =，即427a =，又511a b ==-， 所以5412728d a a =-=--=-；所以()()()1515128528139n a a n d a n d n n =+-=+-=---=-+， 由等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，则()2813902811390k k -+≤⎧⎨-++≥⎩，得1392811128k k ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，所以k ∈∅，所以不存在k ，使得n S 取最小值， 故实数λ不存在.（3）若补充条件是③327S =-， 由31232327S a a a a =++==-， 得29a =-，又51213a b a d ==-=+， 所以52833a a d -==， 所以()()()1288431292333n a a n d a n d n n =+-=+-=-+-=-， 由等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，则()8430338431033k k ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩， 得354388k ≤≤， 又*k ∈N ，所以5k =，所以存在5k =，使得n S 取最小值， 所以5953S λ≤=-， 故实数λ的取值范围为95,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了利用n S 求n a 以及等差数列和等比数列的性质，等差数列的通项公式以及数列的单调性.属于中档题.26．不论选哪个条件，始终有11211n n T n +=--+ 【分析】由()1*1,1,2n nn S n a S S n n N -=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩、等差数列的定义列方程组、递推公式11n n a a n n +=+可分别求得①②③中数列{}n a 的通项公式及前n 项和；根据题意可求得()*2nn b n N =∈，利用等比数列的前n 项和公式及裂项相消法即可求得数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】 选①当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=， 又1n =满足2n a n =，所以()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈；选②设公差为d ，由353516,42a a S S +=+=，得112616,81342,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈；选③由11n n a n a n ++=，得11n n a a n n+=+，所以11n a a n =，即1n a a n =， 74172856S a a ===，所以12a =，所以()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈. ①②③均可求得()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈，设{}n b 的公比为q ，又因为122,4a a ==，由121122,42a ab a b ====， 得12,2b q ==，所以()*2n n b n N =∈，所以数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，因为()21111111n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++. 【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和，裂项项相消法求和，属于中档题.27．（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31n b n =-（2）证明见解析. 【分析】（1）先利用n a 与n S 的关系求得()1123n n a n a +=≥，再根据递推公式和219a =求得113a =，进而得数列{}n a 为等比数列即可求得通项公式，对于数列{}nb ，设公差为0d >，根据题意列方程求解即可.（2）结合（1）的结论，即可求得313113nn b n a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，再用等比数列求和公式求和，并适当放缩即可证明. 【详解】 解：选择①② ∵ 131n n S S +=+，∴ 当2n ≥时，131n n S S -=+， ∴ 两式做差得：13n n a a +=，即()1123n n a n a +=≥， ∵ 131n n S S +=+，219a =， ∴ 令2n =得2131S S =+，即：()12131a a a +=+，解得113a =， ∴2113a a =， ∴ ()1113n n a n a +=≥，即数列{}n a 为等比数列，公比为13，首项为13. ∴ 13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又∵正项差数列{}n b 满足12b =，且123,1,b b b -成等比数列，∴ 设公差为0d >，得()21321b b b =-，即()()22221d d +=+，解得3d =. ∴ ()23131n b n n =+-=-.（2）由（1）得313113nn b n a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴ 122531111333n n b b b a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233311133313126326113n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎢⎥⎣⎦- ⎪⎝⎭. 选择②③∵ 1213n n S a +=-，∴ 当2n ≥时，1213n n S a -=-，两式相减得：1233n n n a a a +=-，∴ ()1123n n a n a +=≥， 又∵ 1212132S a a =-=，219a =， ∴ 113a =，2113a a =，∴ 数列{}n a 为等比数列，公比为13，首项为13. ∴ 13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又∵正项差数列{}n b 满足12b =，且123,1,b b b -成等比数列，∴ 设公差为0d >，得()21321b b b =-，即()()22221d d +=+，解得3d =. ∴ ()23131n b n n =+-=-.（2）由（1）得313113nn b n a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴ 122531111333n n b b b a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233311133313126326113n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎢⎥⎣⎦- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明等比数列，等差数列基本量的计算，等比数列前n 项和问题，考查数学运算能力，是中档题.28．（1）证明见解析；3nn S =；（2）111231+=--n n T ． 【分析】（1）由()11n n n n n a a S a a ++-⋅=⋅，化简得211n n n S S S -+=⋅，结合等比数列的性质，证得数列{}n S 是等比数列，进而求得其通项公式．（2）由（1），化简()()1211n n n n S b S S +=--1113131n n +=---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）由题意，因为()11(2,)n n n n n a a S a a n ++-⋅=⋅≥， 所以()()()()1111n n n n n n n n n S S S S S S S S S +--+---⋅=-⋅-⎡⎤⎣⎦，可得211(2),n n n S S S n -+=⋅≥，因为1130S a ==≠，21290S a a =+=≠，所以0n S ≠，所以11,(2)n n n nS S n S S +-=≥，所以数列{}n S 是等比数列． 则公比213S q S ==，所以数列{}n S 通项公式为1333n n n S -=⋅=． （2）由（1）可得()()1211n n n n S b S S +=--()()1233131n n n +⋅=-⋅-1113131n n +=---，所以12231111111313131313131n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111231n +=--． 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项公式，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟练应用等比数列的定义求得数列的通项公式，结合“裂项法”求和，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。