习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x(3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) xxy x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)(5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''-解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右(3) 是，左=02=+-xxxCe Ce Ce =右(4) 是，左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5) 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右(6) 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解(1) 2d d =x y; (2) x xy cos d d 22=; (3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==⎰⎰2,d 2d(2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3)⎰⎰=+-x y y yd d 11⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得⎰⎰⎰=++-x y yy d d 12d 即 C x y y +=++-|1|ln 2(4)⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C x y =++4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。

解 已知 22x y =' 解得 C x y +=332 又知曲线过原点，得0=C 所求曲线方程为332x y =习题8.21.用分离变量法求下列微分方程的解(1) y x y 4=' (2) 0ln =-'y y y x (3) yx y +='10 (4) 0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x(5)1|,0d 1d 10==+-+=x y y xy x y x (6) 0|,02=='=+x y x y e y 解 (1)x xd dy y⎰⎰=41 解得 22)(C x y +=(2)⎰⎰=xdxy y dy ln 解得 Cx e y = (3)⎰⎰=-dx dy xy 1010 解得 C x y +=--1010 即 C y x =+-1010 (4) ⎰⎰-=dx xxdy y y tan sec tan sec 22 解得 1|tan |ln |tan |ln C x y +-= 整理得 C y x =⋅tan tan(5)⎰⎰+=+dx x x dy y y )1()1( 解得C x x y y ++=+323231213121 由于 1|0==x y ，解得 65=C 则65312131213232++=+x x y y (6)⎰⎰=-dx e dy e xy 2 解得 C e e xy +=--221 由于 0|0==x y 则 23-=C 原方程解为 x ye e232-=-2.求下列齐次方程的解 (1) xyy y x ln=' (2) y x y x x y -+=d d(3) 022=---'x y y y x (4) x x xy y y x d )(d 222+-=(5) dx dyxy dx dy xy =+22(6) 1|,0)2(12==-'+=x y y y y x x 解 (1) 令xyu =，代入方程得 u u xuxu ln d d =+ 分离变量得xxu u u d )1(ln d =-两边积分得1||ln |1ln |ln C x u +=-整理得 |||1ln |2x C u =- 将xyu =回代，即得原方程通解 Cx xy=-1ln(2) 原式可化为 xy x yxy -+=11d d 令xyu =，代入方程得 uu x u xu -+=+11d d 分离变量得x xuu u d 1)d -(12=+ 两边积分得12||ln )1ln(21arctan C x u u +=+-将xyu =回代，即得原方程通解 C x xy x y +=+-222ln )1ln(arctan 2整理得 C y x xy=+-)ln(arctan222 (3) 原式可化为1d d 2-⎪⎭⎫⎝⎛+=x y x y x y 令xyu =，代入方程得 1d d 2-=u xux分离变量得xx u u d 1d 2=- 两边积分得12||ln |1|ln C x u u +=-+即 |||1|2x C u u =-+ 将xyu =回代，即得原方程通解 Cx x y x y =-⎪⎭⎫⎝⎛+12(4) 原式可化为 1d d 2+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xyx y x y令xyu =，代入方程得 1d d 2+-=+u u xuxu 分离变量得xxu u u d 12d 2=+- 两边积分得1||ln 11C x u+=- 即 uCe x -=11将xyu =回代，即得原方程通解 yx x Cex -=(5) 10)(22222-⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==-+x y x y x xy y dx dy dxdy xy x y 令 1,2-=+=u u dx du x u u x y 则 0)1(=-+du u x udx⎰⎰=+-11C x dxdu u u 1||ln C u xu =- xyu u C ce y ce e xu =∴==+,1(6) 原式可化为 xy xy xyx y x y 212d d 222+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=令xyu =，代入方程得 uu x u x u 21d d 2+=+分离变量得x xu u u u d )d 2(12-=++两边积分得12||ln ln C x u u +-=+即 xC u u =+2 将xyu =回代，即得原方程通解 Cx xy y =+2将1|1==x y 代入得C =2 于是，特解为x xy y 22=+习题8.31.求下列微分方程的通解 (1) xey y -=+' (2) 232++=+'x x y y x(3) 2242)1(x xy y x =+'+ (4) 1212=-+'y x xy (5) 0d )ln (d ln =-+y y x x y y (6) y y y x 2)2(2='-解 (1) 这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程0d d =+y xy的通解。

分离变量得x yyd d -= 两端同时积分，得1||ln C x y +-=得通解为x Ce y -=用常数变易法，把C 换成C (x )，即x e x C y -=)(两边微分，得x x e x C e x C xy---'=)()(d d 代入原方程，得1)(='x C两端同时积分，得C x x C +=)(故所求微分方程通解为()x e C x y -+=其中C 为任意常数。

(2) xx x Q x x P 23)(,1)(++==则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x e x Q e y xx P x x P d )(d )(d )( []⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰=⎰⎰--C x x x x C x x x e C x e x x e x x x x x 223311d )23(d 23232||ln d 1d 1或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程0d d =+xyx y 的通解。

分离变量得xx y y d d -= 两端同时积分，得1||ln ||ln C x y +-=得通解为xCy =用常数变易法，把C 换成C (x )，即xx C y )(=两边微分，得2)()(d d x x C x x C x y -'=代入原方程，得23)(2++='x x x C两端同时积分，得C x x x x C +++=22331)(23 故所求微分方程通解为xCx x x y +++=2233123 其中C 为任意常数。

(3) 14)(,12)(222+=+=x x x Q x x x P 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x e x Q e y xx P x x P d )(d )(d )( []⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰=⎰⎰+-++-C x x C x x e C x e x x e x xx xx x x 322)1ln(d 1222d 123411d 4d 14222(4) 1)(,21)(2=-=x Q xxx P 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x e x Q e y xx P x x P d )(d )(d )( ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰=---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---⎰⎰⎰⎰x x xx x x xx x xx x x x xxx Ce x C e e x C x e e x C x e x e x C x e e C x ee1211211212121ln 1ln d 21d 2111d d 1d d 2222(5) 原式可化为y y y x y x 1ln d d =+ yy Q y y y P 1)(,ln 1)(== 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C y e y Q e x yy P y y P d )(d )(d )( ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰⎰⎰--C y y C y y y y C y e y e C y ey e y y yy y y y y 2|ln |ln |ln |ln d ln 1d ln 1ln 21ln 1d ln 1ln 1d 1d 1(6) 原式可化为2d d y y x y x -=- 2)(,1)(yy Q y y P -=-= 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C y e y Q e x yy P y y P d )(d )(d )( ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰-⎰=⎰⎰⎰----C y y C y y y y C y e y e C y e y ey y y y yy21d ||12||d 2d 2||ln ||ln d 1d 12.某种商品的消费量X 随收入I 的变化满足方程I ae X dIdX+= （a 是常数） 当0=I 时，0X X =，求函数)(I X X =的表达式。