“伽利略摆”
莱布尼茨的“活力” 20世纪Einstein的“质能关系”使人们对能的认 识更进了一步。
2006-10-22
二、能量
为了对本质上不同的运动形式提供定量 特征，引入了相应种类的能量。机械能、电 能、电磁能、化学能以及核能等等。
由于能的普遍性质，我们对它的各种讨 论将贯穿始终，而以机械能作为入手点。
引力为： r → ∞
弹性力为：x = 0等，这样
有：
重力势能定义：E p = mgy 或 E p = mgh
弹性势能定义：
Ep
=
1 2
kx 2 .
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引力势能定义： 电势能定义：
Ep
=
− GMm r
Ep
=
qq0 4πε 0 r
势能是物体系间相互位置的函数
三、势能是属于物体系的
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∫ ( ) 可用
Δt
mgv
+
v N
+
v f
dt
=
mvr2
− mvv1
∫ 也可用
(mg cosθ
s
−
f
)ds
=
1 2
mv
2 2
−
1 2
mv12
二、质点系动能定理
同讨论质点动量定理一样，分别给出各个 质点的动能定理，然后相加，有
ΔA1 = Ek1 − Ek10
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ΔA2 = Ek 2 − Ek 20
−
l )2
−
(ra
−
l )2
可见弹性力做功也仅仅取决于质点的初始和 终了位置，与具体路径无关。
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经计算万有引力做功也具备以上两个力的特点。
∫LFr
⋅
r dr
=
o
力所做功仅仅取决于受力质点的 始终位置、与具体路径无关（力沿闭 合路径做功为零）。这种力我们称之 为保守力，也称守恒力。
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− kxdx
=
− 1 kx2
xb
a
2
xa
= −1 2
xb2
−
x
2 a
推广到二维，从 rra → rrb 弹性力做功，设弹
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设簧原长为l
dA = frdsr = −k(r − l)rˆdsr = −k(r − l)dr
[ ] ∫ A =
− rb
ra
k (r
−
l )dr
=
−
1 2
k
(rb
x2 Fdx =
x1
x2 m dvdx = x1 dt
v2 mvdv
v1
=
12mv22
−
1 2
mv12
=
Δ⎜⎛ 1 mv2 ⎟⎞ ⎝2 ⎠
更一般地
（积分形式）
dA = Frdrr = m dvr drr = mvrdvr dt
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考虑到
( ) d v2 = d (vr ⋅ vr) = vrdvr + vrdvr = 2vvdvv
弹性势能增量可定义为：
∫b
Eb
−
Ea
=
−
− kxdx
a
=
1 kx 2
2 b
−
1 2
kx
2 a
万有引力势能增量可定义为：
∫ Eb
− Ea
=
−
− rb
ra
GMm dr
r2
=⎜⎜⎝⎛ −
GMm rb
⎟⎟⎠⎞
−
⎜⎜⎝⎛
−
GMm ra
⎟⎟⎠⎞
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保守力的功是与势能的增量联系的，我们关心的 是其增量，而势能本身只有相对意义。若需定义 则可按如下方法:
对于恒力，有： ΔA
=
r F
⋅
Δrv
cosα
又可分
α > 0,α = π ,π <α <π 22
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注意到力和位移均为矢量，而其乘积为标量 ，这儿要用到矢量的标积运算定义。即：
ΔA
=
r F
⋅
Δrr
其量纲为 L2MT-2，单位为 牛顿 · 米（焦耳）
(∑ ) 合力的功为： ΔA =
=
FrΔrr
=
−mgˆj(xc
−
xa )iˆ
=
0
Acb = FrΔrr = −mgˆj(yb − ya ) ˆj = −mg(yb − ya )
( ) 故有： Aab = −mg yb − ya
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沿直线从a到b：
[ ] Aab = −mgˆjΔrr = −mgˆj (xc − xa )iˆ + (yb − ya ) ˆj = −mg(yb − ya )
E 重力势能定义： p = mgy + const.
E 弹性势能定义： p
=
1 kx 2 2
+ const.
E 引力势能定义： p 电势能定义： E p
= − GMm = qqr0
4πε 0 r
+ const. + const.
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在具体解题过程中常常为方便起见，将 势能零点定为保守力为零处
我们看到：法向力不做功，只有切向力做功。
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三、功率
设力在时间内做的功为 ΔA
Δt 用 N = ΔA 表示力在 时间内的平均功率， Δt
当 Δt → 0 时，有瞬时功率
N = lim ΔA = dA (4.2.3)
也可定成
N
=
r F
Δt →0
⋅ vr
Δt
dt
即力的功率（力的瞬时功率）等于力与受力质 点速度的标积。
牵引力使火车速度增加，摩擦力使火车速度减小， 可见功与物体状态变化相联系。我们要找的状态不是 速率，而是与功紧密相连的、其“量值”的改变恰恰是 由于做功而引起的物理量。
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一、质点动能定理
我们采用演释法。设质量为m的质点受外力作 用从 x1 运动到 x2 外力做功为：
∫ ∫ ∫ ΔA =
问题的关键是忽略了一个力，接触面发 热实际上是一对力作用的结果。仔细考察我 们会发现：“无论参照系如何变化，一对作用 与反作用力做功之和与参照系的选择无关”
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§4.3 质点和质点系动能定理
现在我们着手解决“功”与其它物理量之间 的联系，讨论“做功”的结果将引起什么量的 变化？如何变化？有什么规律？先来看“功” 是如何改变受力物的运动状态的？力对空间 的积累作用是什么？传递了什么？
( ) dA = mvrdvr = 1 md v2 = d⎜⎛ 1 mv2 ⎟⎞
2
⎝2 ⎠
（微分形式）
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量
1 mv 2 2
与m、v均有关，它是一个运动状
态的单值函数，其增量正好是外力所做功，这
正是我们所期望的。
考虑到v是质点运动的速率
我们定义：
Ek
=
1 mv 2 2
为质点的动能
而
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ΔA = Δ⎜⎛ 1 mv2 ⎟⎞ 为质点的动能定理 ⎝2 ⎠
注：
1）“动能”作为机械运动的一种量度，它是状态的单值 函数。“功”是描写状态变化的物理学量（过程量）；
2）动能是个相对量，其大小与参照系选择有关；
3）仅仅在状态发生变化时动能才与功发生联系。称 有多少能有意义，而说有多少功则没有意义；
4）质点的动能定理提供了计算“功”的一个新方法，如 抛石子。
ΔA3 = Ek3 − Ek30 相加后有：
∑ ΔA = ∑ Ek − ∑ Ek0
考虑到 ∑ ΔA = ∑ ΔA外 + ∑ ΔA内
∑ ∑ ∑ ∑ 有
ΔA外 + ΔA内 = Ek − Ek0
此为质点系动能定理
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§4.4保守力与非保守力、势能
描写状态的量除有速度外尚有位置，与速度 有关的能量有动能，那么是否有与位置相对应的 能量呢？
5）注意能量是标量，没有方向
例：平抛运动中重力的功
mgh
≠
1 2
mvτ2
−
1 2
mvτ20
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我们可以从另一角度证明“作用点的位移” 不准确；
Frdrr作
=
m
dvr dt
drr作
=
m
drv作 dt
dvr
=
mvr作dv作
两边积分，左边为“作用点位移的功”，右 边得不到相应的动能定理。
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四、做功与参照系的选择有关
功的定义中用到了“位移”，而位移是个相 对量，故而功也是个相对量，其实与参照系的 选择有关。
例：升降机中的人。地面参照系看：重力和升 降机地板的支持力均做功；升降机参照系看： 重力的升降机地板的支持力均未做功。
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又例：物体在地面上滑行，地面参照系看： 摩擦力均做了负功，接触面发热；物体参照 系看：摩擦力未做功，怎么解释接触面发热 问题？
第四章 动能和势能
功能概念是整个物理学中最为重要最为 基本的概念，它是支配自然现象中最为重要 的规律。
为了对本质上不同的运动形式提供定量 的特征，我们引入与运动相对应的各种能量 如机械能、热能、电磁能、化学能及核能等 等。
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§4.1能量——另一个守恒量
一、能量的历史背景
人们对能量的认识有一个相当长的过 程，“功”是由“做功”基础上来的，“动能”则 是由“活力”而来，一直到十九世纪才从力的 概念中分离出来。