双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：1:定义:双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

2．已知双曲线标准方程ｘ^2／a^２-y ＾２/b^2=1 点P(ｘ，y)在左支上│PF1│=-(ｅx+ａ） ；│ＰＦ2│=－(ex －a) 点P(x,y ）在右支上│PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-ａ运用双曲线的定义例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线,则角α所在象限是( )A 、第一象限 Ｂ、第二象限 C 、第三象限 Ｄ、第四象限练习1．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15,则P 点到)0,5(-的距离是( ）A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23例2． 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2＋32y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点,则此双曲线的方程是( ）。

(A)6x 2-4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=１ （D ）3x 2－5y 2=1练习2． 离心率ｅ=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的( )。

(A)充分条件 （B ）必要条件 (C ）充要条件 (D)不充分不必要条件例３． 已知｜θ｜<2π,直线ｙ＝－tg θ(ｘ－1)和双曲线y 2ｃo ｓ２θ－ｘ２ ＝1有且仅有一个公共点,则θ等于（ )。

(A)±6π (Ｂ）±4π （C ）±3π (D ）±125π课堂练习1、已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为 ; 2、焦点为（0,６）,且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是( ）ﻩA.1241222=-y x B ．1241222=-x y Ｃ．1122422=-x y D.1122422=-y x3. 设e 1, e ２分别是双曲线1b y a x 2222=-和1ay b x 2222=-的离心率，则e １2+e 22与e 12·e 2２的大小关系是 。

４.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A ．)+∞B ．[3)++∞C ．7[-,)4+∞ Ｄ．7[,)4+∞5． 已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线x 2-4ｙ2=６0截得的弦长｜ＡB ｜＝82,求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程。

6. 已知P 是曲线xy=１上的任意一点，F （2，2)为一定点,l ：ｘ+y －2=0为一定直线,求证:｜PF ｜与点Ｐ到直线l 的距离d 之比等于2。

7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0,右顶点为)．（Ⅰ）求双曲线Ｃ的方程(Ⅱ)若直线:=l y kx 2•>OA OB (其中O 为原点），求k 的取值范围8、已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。

（1）求a 的取值范围；（2）若以A B 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值；课后作业１.双曲线36x 2－49y 2=１的渐近线方程是 （ )(Ａ）36x ±49y =0 （B)36y ±49x =0 (C)6x ±7y =0 （D ）7x±6y ＝０2．双曲线5x 2-4y 2＝1与5x 2-4y 2=k 始终有相同的( )(A ）焦点 （B)准线 (C)渐近线 （D)离心率３．直线y ＝ｘ+3与曲线4y 4xx 2+-=1的交点的个数是( ) （A ）0个 （B)1个 (C)2个 (D)3个4．双曲线x 2-a ｙ２=1的焦点坐标是( ）(A ）(a +1, 0) , (－a +1, 0) (B)(a -1, 0), (-a -1, 0) (C ）(－a a 1+, 0）,(a a 1+, 0) (D ）(－a a 1-, 0), (aa 1-, ０) ５．设双曲线1by a x 2222=-（b>a ＞0)的半焦距为c ，直线ｌ过(a, 0)、(０, ｂ）两点,已知原点到直线 L 的距离是43ｃ,则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 (Ｂ）3 (C)2 (D ）3326．若双曲线ｘ2-y 2=1右支上一点P(a ， b)到直线y=x 的距离是2,则a ＋b 的值为( ）。

(A)-21（Ｂ）21 （Ｃ）-21或21 （D ）2或－27．已知方程k 3x 2++k2y 2-=1表示双曲线,则ｋ的取值范围是。

8. 若双曲线2222k4y k 9x -＝１与圆ｘ2+y 2=1没有公共点，则实数k 的取值范围是９. 求经过点)72,3(-P 和)7,26(--Q ,焦点在y 轴上的双曲线的标准方程10 设函数f (x )=sin x c ｏｓx －3c ｏｓ（x ＋π)c ｏs x (ｘ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；（２)若函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象按b ＝错误!平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y =g (x ）在错误!上的最大值．１1、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I)求数列{}n a 的通项公式；ﻩ（II)若数列{}n b 满足121114.4...4(1)()n n b b b b n a n N ---*=+∈,证明：{}n b 是等差数列;课1、[解析］设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ,2010452=∴=∴λλ, 当0<λ时,化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ, 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y课２.［解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选Ｂ３、解(1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得2==a c ,再由2222+=a b ,得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . （２)将=y kx 2213-=x y得22(13)90---=k x 由直线l与双曲线交与不同的两点得()222213036(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k即213≠k 且21<k ． ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ,则229,1313-+==--A B A Bx y x y k k ,由2•>OA OB 得2+>A B A B x x y y ,而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x22222937(1)2131331-+=++=---k k k k k k ．于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①＋②得2113<<k故的取值范围为3(1,,1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭４、解：（1）由⎩⎨⎧=-+=13122y x ax y 消去y ，得022)3(22=---ax x a (1)依题意⎩⎨⎧>∆≠-0032a 即66<<-a 且3±≠a (2)（2)设),(11y x A ，),(22y x B ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=+)4(32)3(32221221a x x aa x x∵ 以A Ｂ为直径的圆过原点 ∴ OB OA ⊥ ∴ 02121=+y y x x 但1)(2121221+++=x x a x x a y y 由(3）(4),22132a a x x -=+,22132a x x --= ∴ 013232)1(222=+-⋅+--⋅+aa a aa 解得1±=a 且满足(２)9 设函数f (x )=sin x co ｓｘ－3cos(ｘ+π)ｃｏs x (ｘ∈R )． (１）求f (x ）的最小正周期;(2)若函数ｙ＝ｆ（x )的图象按ｂ＝错误!平移后得到函数y =g (ｘ)的图象,求ｙ=g （x )在错误!上的最大值.大纲文数18.Ｃ９[２01１·重庆卷]【解答】 （１)f (x )=12ｓｉｎ2x ＋3co ｓ2x =错误!si ｎ2ｘ+错误!（1＋c ｏs2x )=错误!ｓin2x ＋错误!ｃｏs2x +错误!=ｓin 错误!+错误!．故ｆ(x )的最小正周期为Ｔ＝错误!＝π．（2)依题意g (x )＝f 错误!＋错误!＝sin 错误!＋错误!+错误!=ｓin 错误!＋错误!． 当ｘ∈错误!时,2x -错误!∈错误!,ｇ(ｘ)为增函数， 所以g (x )在错误!上的最大值为ｇ错误!=错误!.2２、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式;ﻩ（II ）若数列{}n b 满足121114.4...4(1)()nnb b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列；2２(I):*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+ﻩ{}1n a ∴+是以112a +=为首项,２为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=ﻩ即 2*21().n a n N =-∈ﻩ（II)证法一：1211144...4(1).n n b b b b n a ---=+ﻩ12(...)42.n n b b b nnb +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①ﻩ 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ﻩ②-①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+= ③ﻩ21(1)20.n n nb n b ++-++= ④ﻩ④－③，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ﻩ{}n b ∴是等差数列。

练习题答案1、[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ,当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ, 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y2、[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B7、解(1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得2==a c ,再由2222+=a b ,得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . (2）将=y kx 2213-=x y得22(13)90---=k x由直线l与双曲线交与不同的两点得()222213036(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A BA x yB x y ,则2913-+==-A B A Bx y x y k ，由2•>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x2222937(1)21331-+=+=--k k k k k .于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①＋②得2113<<k故的取值范围为3(1,,133⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭８、解：(1)由⎩⎨⎧=-+=13122y x ax y 消去y ，得022)3(22=---ax x a (1） 依题意⎩⎨⎧>∆≠-0032a 即66<<-a 且3±≠a (2）（2）设),(11y x A ,),(22y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=+)4(32)3(32221221a x x aa x x∵ 以ＡB 为直径的圆过原点 ∴OB OA ⊥ ∴ 02121=+y y x x但1)(2121221+++=x x a x x a y y由（3)(4）,22132a ax x -=+，22132a x x --=∴013232)1(222=+-⋅+--⋅+aaa aa 解得1±=a 且满足（２)例2答案:A提示:椭圆10x 2＋32y 52=１的两个顶点是(10, 0), (-10, 0), 焦点是(－5103, 0）, (5103,０), 在双曲线中，c=10, c a 2＝5103, a 2=６, b 2=4, ∴双曲线的方程是6x 2－4y 2=１例3答案：B提示：将y ＝-t ｇθ(x-1)代入到双曲线y 2cos 2θ-x 2 ＝1中,化简得ｃos 2θx 2+2xsin 2θ+cos 2θ=0, △=0,解得s ｉn θ=±c ｏs θ, ∴θ=±4π课练3.答案：ｅ12+e ２2=e １2·e ２2提示:e 12+e 22=2222b c a c +=22222ba )b a (c +=224b ac ＝ ｅ12·e 22 课练4【答案】Ｂ【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点,所以214a +=，即23a =,所以双曲线方程为2213x y -=,设点P 00(,)x y ,则有220001(3x y x -=≥，解得220001(3x y x =-≥,因为00(2,)FP x y =+,00(,)OP x y =，所以2000(2)OP FP x x y ⋅=++=00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，此二次函数对应的抛物---- 线的对称轴为034x =-，因为0x ≥，所以当0x =时,OP FP ⋅取得最小值4313⨯+=3+故OP FP ⋅的取值范围是[3)++∞，选B 。