实 变 函 数 复 习 提 纲2006-7-14第一章 集合一、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一一映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．二、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：a N =、a Q =（a ＞0）；4、不可数数集合的基数：c R =（c >a>0）． 三、基本题目1、集合对等的判定、求基合的基数例 证明I =（－1，1）和R =（－∞，+∞）是对等的，并求I . 证：作映射ф：()x x 2tan πφ=，x ∈（－1，1），其值域为R =（－∞，+∞）、 因()x x 2tanπϕ=，在（－1，1）是严格单调增的，∴ϕ：()x x 2tanπϕ=是（－1，1）到R上的一一对应, 即 I= (-1,1)xx 2tan)(11πϕ=-(),+∞∞-=R由对等的定义知：I ～R .∵I ～R ∴R I =，又c R =，∴c I =. 2 集合的运算，德。

摩根律的应用3 可数数集合的判定第二章 点集一、基本概念：距离、度量空间、n 维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间 二、基本理论1、开集的运算性质 ；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造 三、基本题目1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集 例 设E 为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求0E ，'E ，E ； 2）判定E 是开集还是闭集，为什么？解：1）对于E x ∈∀，x 的任意邻域)(x U 内有无数个无理点,∴)(x U E _⊂，∴x 不是E 的内点，由x 的任意性，知E 无内点,∴φ=0E .对于[]1,0∈∀x ，)(x U ∀内都有无数多个有理点，即有无数多个E 的点,∴x 为E 的聚点.又在[0，1]外的任一点都不是E 的聚点. ∴[]1,0='E . ∵[][]1,01,0=⋃='⋃=E E E E ， ∴[]1,0=E .2）E 不是开集，也不是闭集.因为ϕ=0E ，而E 是非空的，∴,0E E ≠ ∴E 不是开集.因为[]1,0='E ，而[0，1]中的无理点不在E 内，即E E __⊂'，∴由定义知，E 不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造第三章 测度论引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度． 一、基本概念：勒贝格外测度，L 测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设E 为nR 中任一点集，对于每一列覆盖E 的开区间E I U i i ⊃∞=1，作出它的体积和∑∞==1i iIμ（μ可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的μ），所有这一切的μ组成一个下方有界的数集，它的下确量（由E 完全确定）称为E 的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为E m *，即：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∞=⊂∞=1inf1*i i E I I E m i i注：由定义1知：nR 中的任一点集都有外测度（一个非负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E 为nR 中点集，若对任一点集T 都有)(*)(**CE T m E T m T m ⋂+⋂=（1）则称E 为L 可测的，这时E 的L 外测度E m *就称为E 的L 测度，记为mE ，条件（1）称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.L 可测集的全体记为μ.3可测集类1）零测度集类：2）一切区间I （开、闭、半开半闭）都是可测集合，且I mI = 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的二、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）E m *≥0，当E 为空集时E m *=0（即0*=ϕm ）；（非负性）； （2）设A ⊂B ，则A m *≤B m *；（单调性） （3）)(*1∞=i i UA m ≤∑∞=1*i iAm ；（次可数可加性）2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合E 可测←→对任意的A ⊂E ，B ⊂[CE ，总有B m A m B A m **)(*+=⋃2）余集的可测性：S 可测←→CS 可测3）并集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∪S 2也可测； 4）交集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∩S 2也可测； 5）差集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1－S 2也可测；6）可列可加性：设{}i S 是一列互不相交的可测集，则i i S U ∞=1也是可测的，且∑∞=∞==11)(i i i i mS US m7）可列交的可测性：设{}i S 是一列可测集合，则i i S ∞=⋂1也是可测集合；8）递增的可测集列的极限的测度：设{}i S 是一列递增的可测集合：⊂⊂s s 21…sn⊂…，令S=ss nn i ilim 1∞→∞== 则n n mS mS ∞→=lim9）递减的可测集列的极限的测度：设{}i S 是一列递减的，可测集合： S 1⊃S 2⊃…⊃Sn…令n n i i S S S ∞→∞==⋂=lim 1，则当它1mS ＜∞时，n n mS mS ∞→=lim . 三 基本题目1、试述L 外测度的定义.（答案见第三章§1定义1）2、试给L 测度的定义（答案见第三章§2定义1）3、设点集n R E ⊂，0*=E m ，证明E 是可测集，并求mE .证：只须证明卡氏条件成立，即对nR T ⊂∀，有)(*)(**CE T m E T m T m ⋂+⋂=∵)()(CE T E T T =∴T m *≤)(*)(*CE T m E T m ⋂+⋂ （外测度的次可数可加性）①另一方面：∵E E T ⊂)( ，∴)(*E T m ≤E m *（单调性）∵已知0*=E m ，)(*E T m ≥0，∴0≤)(*E T m ≤0，必有)(*E T m =0 又：)(CE T T ⊃ ∴T m *≥)(*CE T m （单调性）∴ T m *≥)(*CE T m +)(*CE T m ②由①、②可知：T m *=)(*CE T m +)(*CE T m ，此即卡氏条件成立； ∴ E 是可测的， ∴ 0*==E m mE . 4、证明可数点集n R E ⊂的外测度0*=E m证明：E 为可数点集，∴{}⋯=,,,,,321m e e e e E ，其中ni n i i i i R e e e e e ∈=),,,,(321 ，,,,3,2,1m i =对于任意给定的ε＞0，不妨设ε�1，作开区间⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+-=++n j ＜e ＜x e x x x x I i i j i j i i j n i ,,3,2,1,22),,,,(11321 εεn i I inii ,,3,2,1,2)2(=≤=εε因E e i i i iI=⊃∞=∞=11，由外测度的单调性及次可列可加性得：εεε=-=≤=≤≤∑∑∑∞=∞=∞=∞=211212*)(**1111i i i i i i i i I I m I m E m又由ε的任意性及E m *≥0得：E m *=0，得证.注：本题可当作定理.5、设Q 为有理数集合，求Q m *，mQ . 解：∵Q 为一可数集合，∴Q m *=0. 对于T ∀，∵)()(cQ T Q T T =∴ )(*)(**cQ T m Q T m T m +≤ （外测度的次可列可加性）①另一方面，∵Q Q T ⊂)( ，∴0*)(*=≤Q m cQ T m （单调性），0)(*≥Q T m ，∴0)(*=Q T m 。

又∵)(cQ T T ⊃，∴)(**cQ T m T m ≥（单调性）∴)(*)(**cQ T m Q T m T m +≥ ② 由①、②知：)(*)(**cQ T m Q T m T m += 即卡氏条件成立， ∴ Q 为可测集，∴ 0*==Q m mQ .第四章 可测函数一、基本概念：可测函数.， 重要的可测函数：简单函数，连续函数；依测度收钦，命题几乎处处成立1、可测函数的定义：设)(x f 是定义在可测集nR E ⊂上的实函数，若对于任何有限实数a ，点集E[f ＞a ]={}a ＞x f E x x )(,|∈都是可测集，则称)(x f 为定义在E 上的可测函数.2简单函数定义：设E x x f ∈),(，把E 分为有限个互不相交的可测集),,3,2,1(n i E i =，i ni E E 1== ，使i C x f =)(（常数），i E x ∈时，则称)(x f 为定义在E 上的简单函数.例如在区间[0，1]上的狄利克雷函数便是一简单函数3 连续函数的定义（用邻域定义）：设)(x f ，nR E x ⊂∈，对于E x ∈0，若：1）)(00x f y =有限；2）对于0y 的任一邻域)(0y V V =都存在0x 的某邻域)(0x U U =，使得V E U f ⊂)( ；则称)(x f 在0x 点连续，若)(x f 在E 中每一点都连续，则称 )(x f 在E 上连续.4、命题几乎处处成立：设命题π是一个与点集E 有关的命题，若存在E 的子集M ⊂E ，mM=0，使π在E\M 上恒成立，即E\E[π成立]为零测度集，则称π在E 上几乎处处成立，简记为 .e a ⋅π于E 成立.5 依测度收敛的定义：设{}n f 是qR E ⊂上一列..e a 有限的可测函数列，若有E 上..e a 有限的可测函数)(x f 满足下列关系：对任意的δ＞0，有[]0lim =≥-∞→δf f mE n n ,则称函数列{}n f 依测度收敛于f ，记为：)()(x f x f n ⇒.注意：依测度收敛与收敛的不同，两者不能彼此包含.二、基本理论1可测函数的充要条件定理1、设)(x f 是定义在可测集E 上的实函数，下列任一条件都是)(x f 在E 上可测的充要条件：1）对任何有限实数a ，E[f ≥a ]都可测； 2）对任何有限实数a ，E[f ＜a ]都可测； 3）对任何有限实数a ，E[f ≤a ]都可测；4）对任何有限实数a ，b （a ＜b ），E [a ≤f ＜b ]都可测（充分性要假定)(x f 是有限函数）2可测函数的运算1）设)(),(x g x f 都在E 上可测，则下列函数（假定它们在E 上有意义）都在E 上可测：① )()(x g x f +；② )()(x g x f ⋅；③)(1x f ，④ )(x f . 2）可测函数列的确界函数仍可测，设{})(x f n 是在E 上可测函数列，则下确界函数{})(inf )(x f x n =μ和上确界函数{})(sup )(x f x n n=λ都在E 上可测3）可测函数列的上、下极限函数以及极限函数都是可测函数. 3、可测函数与简单函数的关系任何一个可测函数都可表示成一简单函数列的极限函数. 4、连续函数与可测函数的关系（定理2）连续函数一定是可测函数，但反之，不真.5 叶果洛夫定理（见书P87）定理告诉我们：满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”一致收敛的. 6可测函数的构造 定理1（鲁津）（见书P88）定理说明：一般的可测函数是“基本上连续”的函数. 7、依测度收敛与收敛的关系.定理1（黎斯）设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}n f i，在E 上..e a 收敛于f .三 基本题目1、证明：)(x f 在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r ，集E[f ＞r]是可测的. 证: 必要性：∵)(x f 在E 上可测,由定义对任意有限实数a, 点集E[f ＞a]是可测的，特别地当a 为任一有理数r 时，E[f ＞r]也可测.充分性：已知对任一有理数r 可测，下面只须证明对任一无理数a ，点集E[f ＞a ]可测. 取一递增的有理数列{}n r ：,,3,2,1, =<n a r n 且a r n n =∞→lim ，∵[]][1r nn f ＞E a f E ∞==≥ ，已知 []r nf ＞E 可测， ,3,2,1=n .∴[]r nn f E >∞=1可测（可测个可测集的交集仍可测）, 即[]a f E ≥可测, 由可测函数的等价条件知点集E[f ＞a ] 也可测.所以，对任意有限实数a ，点集[]a f E >都可测，由定义知)(x f 在E 上可测.充分性成立.综合两方面的证明知，命题得证.2、试述可测函数的定义，答案见§1定义1.第五章 积分论引入：为克服R-积分的不足，引入L-积分. 一、基本概念：黎曼积分（R 积分），勒贝格积分（L 积分），函数的下方图形.1黎曼积分的（确界式）定义黎曼积分、简记为R 积分，即数学分析中的定积分.回顾R 积分的确界式定义见书P100定义1.2勒贝格积分的定义1）对E 的任一可测分化{}i E D =，),,3,2,1(n i E i =为互不相交的可测集 2）令)(sup x f B iE x i ∈= )(inf x f b iE x i ∈作乘积i i mE B i i mE b 求和：),(1f D S mEB ni ii =∑= ——大和),(1f D s mEb ni ii=∑=——小和3）求L 上、下积分令：),(inf )(f D S dx x f DE =⎰ ——L 上积分),(sup )(f D S dx x f DE =⎰——L 下积分4）若dx x f dx x f EE )()(⎰=⎰，则称)(x f 在E 上L 可积，且称此共同值为)(x f 在E上的L 积分，记为：dx x f E )(⎰.2） 一般可积函数的勒贝格积分的定义把L 积分从mE 有限,f(x)在E 上有界,推广到mE 没有限制, f(x)在E 上是否有界不要求的情形,推广步骤分为:第一步 非负函数情形 见书P115第二步 一般函数(不限于非负)的情形 见书P116 推广后的L 积分的性质 见书P1173 函数的下方图形二、基本理论1 L 可积的充要条件1）设)(x f 在可测集)(∞<mE E 上有界，)(x f 在E 上L 可积⇔对0>∀ε，存在E 的可测分划D ，使 ∑=<=-ni ii mEf D S f D S 1),(),(εω，这里i i i b B -=ω.2)设f(x)在可测集E(mE ＜∞)上有界,则f(x)在E 上L 可积 ↔ f(x)在E 上可测. 2 L 积分的运算性质设f(x)、 g(x)可测集E(mE ＜∞)上有界且L 可积,则f(x)±g(x) 、 f(x)•g(x) 、 f(x) /g(x) (但0)(inf >∈x g Ex )及)(x f 在E 上都是可积的.3 L 积分与R 积分的关系设f(x)在[a,b]上R 可积,则f(x)在[a,b]上L 可积,且有相同的积分值, 即⎰=badx x f )(⎰],[)(b a dx x f4 L 积分的性质（1） 若 f(x)在E 上L 可积,则 f(x) 在E 的任何子集上也可积 （2）对积分区域的可加性: 若f(x)在E=A ⋃B 上有定义,A ⋂B=Φ,且在A,B 上分别可积,则⎰Edx x f )(=⎰Adx x f )(+⎰Bdx x f )(（3） 线性运算性质1) 设f(x) 、 g(x) 在E 上L 可积,则⎰+Edx x g x f )]()([=⎰Edx x f )(+⎰Edx x g )(2) 设f(x)在E 上L 可积,C 为常数,则⎰E dx x Cf )(=C ⎰Edx x f )(（4） 不等式性质: 设f(x) g(x) 在E 上L 可积,且f(x) ≤g(x),则⎰Edx x f )(≤⎰Edx x g )(特别地 当b ≤f(x)≤B 是有bmE ≤⎰Edx x f )(≤BmE（5） 绝对值可积性: 设f(x)在E 上L 可积,则)(x f 在E 上L 可积,且⎰⎰≤EEdx x f dx x f )()(（6） 设f(x)在E 上L 可积,f(x)≥0,且⎰Edx x f )(=0,则f(x)=0, a . e ．与E;（7） 绝对连续性: 设f(x)在E 上L 可积,则对于任何可测集A ⊂E,有 ⎰→AmA dx x f )(lim 0=05 积分的极限定理1 ） 勒贝格控制收敛定理(定理1) 设 (1){}f n是可测集E 上的可测函数列;(2))(x fn≤F(x) a e 与E,n=1,2……,且F(x) 在E 上可积分(3))(x fn⇒ f(x)则f(x) 在E 上可积分,且⎰∞→Enn dx x f)(lim=⎰Edx x f )(=dx x fnE n )(lim⎰∞→即极限运算与积分的运算可交换顺序 2） 列维定理 (定理2) 见书P126 3） L 逐项积分:dx x E n nf)(1⎰∑∞==)(1x n Enf∑⎰∞=4）L 积分的可数可加性 设f(x) 在E 上积分确定,E=∞=1i iE ,E i为互不相交的可测集,则⎰Edx x f )(=∑⎰∞=1)(i E dx x f i5） 法都引理 见书P1286 勒贝格积分的几何意义 设f(x)为可测集E Rn⊂上的非负可测函数,则⎰Edx x f )(=mG(E,f),其中G(E,f)为f(x)在E 上的下方图形.三 基本题目1, 设f(x)在可测集E(mE ＜∞)上有界,试给出f(x) 在E 上L 积分的定义 答案见§2 定义1 2 设D(x)=⎰为无理数为有理数x x 01 x ∈[0,1]， 1)证明D(x)在[0,1]上L 可积，2)求⎰]1,0[)(dx x D1) 证∵D(x)为[0,1]上简单函数 ∴D(x)在[0,1]上可测 又1)(≤x D 即D(x)在[0,1]上有界 而[0,1]为可测集∴D(x)在[0,1]上L 可积2) 解: ∵ D(x)在[0,1]上L 可积令E 为[0,1]上的有理数集合，则[0,1]\E 为[0,1]上的无理数集合,有L 积分的性质得⎰]1,0[)(dx x D =⎰Edx x D )(+⎰Edx x D \]1,0[)(∵ E 为[0,1]上的有理数m 全体组成的集合,它是全体有理数集合Q 的子集合 又 mQ=0∴ mE=0有差集的可测性知: m([0,1]\E)=m[0,1]－mE=1－0=1∴⎰]1,0[)(dx x D =⎰Edx x D )(+⎰Edx x D \]1,0[)(=⎰Edx 1+⎰Edx \]1,0[0=1•mE+0=1•0+0=0+0=03 试述非负有界函数的勒贝格积分的几何意义.。