高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案
一、角的概念的推广
1．与角α终边相同的角的集合为 ． 2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ． 3．轴线角（终边在坐标轴上的角）
终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．
4．象限角是指： ．
5．区间角是指： ．
6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．
7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．
8．弧长公式：l ＝ ；
扇形面积公式：S ＝ .
二、任意角的三角函数
9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；
10．三角函数的符号与角所在象限的关系：
12解析式 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx
定义
域
值 域
13．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．
－ ＋ － + cos x , ＋ ＋ －
－ sin x ,
－ ＋
＋ － tan x , x y O x y O x y O αx
y O
例1. 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α
,3α
的终边所在位置.
解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z ）.
（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z ），
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.
（2）∵k·180°+45°＜2α
＜k·180°+90°（k∈Z ），
当k=2n （n∈Z ）时，
n·360°+45°＜2α
＜n·360°+90°；
当k=2n+1（n∈Z ）时，
n·360°+225°＜2α
＜n·360°+270°.
∴2α
是第一或第三象限的角.
（3）∵k·120°+30°＜3α
＜k·120°+60°（k∈Z ），
当k=3n （n∈Z ）时，
n·360°+30°＜3α
＜n·360°+60°；
当k=3n+1（n∈Z ）时，
n·360°+150°＜3α
＜n·360°+180°；
当k=3n+2（n∈Z ）时，
n·360°+270°＜3α
＜n·360°+300°.
∴3α
是第一或第二或第四象限的角.
变式训练1：已知α是第三象限角，问3α
是哪个象限的角？
解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k∈Z ），
60°+k·120°＜3α
＜90°+k·120°.
①当k=3m(m∈Z )时，可得
典型例题
60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m∈Z )时，可得 180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m∈Z ). 故3α
的终边在第三象限.
③当k=3m+2 （m∈Z ）时，可得
300°+m·360°＜
3α＜330°+m·360°（m∈Z ）. 故3α
的终边在第四象限.
综上可知，3α
是第一、第三或第四象限的角.
例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:
(1)sin α≥23;(2)cos α≤2
1-. 解：（1）作直线y=2
3交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ， 则OA 与OB 围成的区
域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
α|2k π+3π
≤α≤2k π+
32π，k∈Z . （2）作直线x=21
-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影
部分）
即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα. 变式训练2：求下列函数的定义域：
（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.
解：（1）∵2cosx -1≥0，∴cosx≥21.
由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).
∴x∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+
-32,32ππππk k （k∈Z ）. （2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43
,∴-23＜sinx ＜2
3.
利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),
∴x ∈（k π-3π,k π+3π
）（k ∈Z ).
例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值. 解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),
则x=4t,y=-3t, r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,
当t ＞0时，r=5t,
sin α=
5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4
343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=
5
353=--=t t r y , cos α=
5454-=-=t t r x , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=4
3-;
t ＜0时，sin α=53
,cos α=-54,tan α=43-. 变式训练3：已知角θ的终边经过点P 2(3,)(0),sin m m θ-≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．
解：由题意，得 2223,0,53r m m m m =+=≠∴=+ 故角θ是第二或第三象限角．
当5m =时,22r =P 的坐标为(3,5)-， 36515cos tan 223x y r x θθ-∴======- 当5m =时,22r =P 的坐标为(3,5)-，
36515cos tan 223x y r x θθ--∴======-
例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ．
(1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值． 解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。

)(3
2cm l π= S S S -=扇弓△＝3
sin 221232212ππ⨯⨯-⨯⨯ ＝)332(π
（cm 2
） 扇形周长R R l R C 222+=+= ∴22+=
C R ∴22)22(2121+⋅=⋅=
C R S αα扇 162
4241244122
22
2C C C ≤++⋅=++⋅=ααα 当且仅当22
＝4，即α＝2时扇形面积最大为162
c ． 变式训练4：扇形OAB 的面积是1cm 2
，它的周长是4cm ，求中心角的弧度数和弦长AB ． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，中心角的弧度数为α
则有⎪⎩⎪⎨⎧==+12142lr l r ∴⎩⎨⎧==21l r 由|α|＝r
l 得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )
1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．
2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?
小结归纳。