勾股定理及其逆定理（习题）
例题示范
例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面3m处折断倒下，树的顶部落在离树的底部4m处，这棵树折断之前有多高？
解：如图，由题意，得
AC=3，BC=4，∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理，得
AC2+BC2=AB2．
∴32+42=AB2．
∴AB=5．
∴AB+AC=5+3=8．
答：这棵树折断之前高8m．
例2：如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cm．求证：∠C=90°．
证明：如图，
在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，
∵52+122=132，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°．
巩固练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=8，AB=17，则AC
的长为________．
2.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12km，乙往
南走了5km，这时甲、乙两人之间的距离为___________．3.已知某直角三角形的两直角边长分别为3和4，则此三角形的
周长为_______．
4.如图所示，∠B=∠OAF=90°，BO=3cm，AB=4cm，AF=12cm，
则图中半圆的面积是_______．
第4题图第5题图
5.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的
面积从小到大依次记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）
A．S l+S2>S3B．S l+S2<S3
C．S1+S2=S3D．S12+S22=S32
6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三
角形，若其中最大正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2．
7.在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，则△ABC的面积为______．
8.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB=13，
AC=20，AD=12，求BC的长．
9.如图，一架长25米的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端与墙根
之间的距离为7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？
10.如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边
的长分别为a和b，斜边长为c．图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并利用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图1中的直角三角形有若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的图形的示意图，并利用该图形证明勾股定理．
11.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是
（）
A．1.5，2，2.5B．8，15，17
C．7，24，25D．1，1，2
12.下面四组数，其中是勾股数的是（）
A．3，4，5B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，52D．6，7，8
13.已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这
个三角形的面积为__________．
14.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD边上，
若AB=4，AE=2，DF=1，则图中的直角三角形共有____个．
15.在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，求AC
的长．
思考小结
1.赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图都是由四个全等的__________三
角形拼成的，但是在拼的过程中有区别，赵爽弦图的弦在____（填“内”或“外”），毕达哥拉斯弦图的弦在____（填“内”
或“外”），请你画出对应的弦图．
赵爽弦图毕达哥拉斯弦图
2.我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正
整数）____（填“是”或“不是”）一组勾股数；一般地，如
<<）是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k 果a，b，c（a b c
是正整数）是一组勾股数吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．
解：ak，bk，ck（k是正整数）______一组勾股数，理由如下：∵a，b，c是一组勾股数，
∴___________________．
∵k≠0，
∴k2a2+k2b2______k2c2．
∴(ak)2+(bk)2_____(ck)2．
∵k为正整数，
∴ak，bk，ck也是________．
∴ak，bk，ck（k是正整数）_______一组勾股数．
【参考答案】
巩固练习
1.15
2.13km
3.12
4.169
8
5.C
6.49
7.60
8.BC的长为21
9.（1）这个梯子的顶端距地面24米高；
（2）梯子的底端在水平方向上滑动了8米
10.略
11.D
12.A
13.96cm2
14.4
15.AC的长为10
思考小结
1.直角；外；内
图略
2.是；是；a2+b2=c2；=；=；正整数；是。