第二章函数与导数第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)第三章 (对应学生用书(文)、(理)20～21页),1. (必修1P63习题2改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：(1) 3a 2＝________；(2) a a a ＝________；(3) ⎝⎛⎭⎫3a 2·ab 3＝________．答案：(1) a 23 (2) a 78 (3) a 76b 322. (必修1P 80习题6改编)计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝________． 答案：1解析：原式＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.3. (必修1P 80习题12改编)已知lg6＝a ，lg12＝b ，则用a 、b 表示lg24＝________． 答案：2b －a解析：lg24＝lg 1446＝2lg12－lg6＝2b －a.4. (必修1P 63习题6改编)若a ＋a －1＝3，则a 32－a －32＝______．答案：±4解析：a 32－a －32＝(a 12－a －12)(a ＋a －1＋1)．∵ (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1，∴ (a 12－a －12)＝±1，∴ 原式＝(±1)×(3＋1)＝±4. 5. 已知实数a 、b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：① 0＜b ＜a ；② a＜b ＜0；③ 0＜a ＜b ；④ b＜a ＜0；⑤ a＝b. 其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号) 答案：③④解析：条件中的等式⇔2a =3b⇔a lg2=b lg3．若a ≠0，则lg 2lg3b a =∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．1. 根式(1) 根式的概念① n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数），|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a≥0），－a （a<0）（n 为偶数）； ② (n a)n ＝a(注意a 必须使na 有意义)． 2. 有理指数幂(1) 分数指数幂的表示① 正数的正分数指数幂是a mn ，m 、n∈N *，n>1)； ② 正数的负分数指数幂是a －m n ＝1a m n ＝1(a>0，m 、n∈N *，n>1)；③ 0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．(2) 有理指数幂的运算性质① a s a t ＝a s ＋t(a>0，t 、s∈Q )；② (a s )t ＝a st(a>0，t 、s∈Q )；③ (ab)t ＝a t b t(a>0，b ＞0，t∈Q )． 3. 对数的概念 (1) 对数的定义如果a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2) 几种常见对数4. (1) 对数的性质① alog a N ＝N ；② log a a N＝N(a>0且a≠1)． (2) 对数的重要公式① 换底公式：log b N ＝log a N log a b (a 、b 均大于零且不等于1)；② log a b ＝1log b a .(3) 对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ① log a (MN)＝log a M ＋log a N ； ② log a MN ＝log a M －log a N ；③ log a M n＝nlog a M (n∈R )； ④ log am M n＝n m log a M.[备课札记]题型1 指数幂的运算例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)： (1) 1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323； (2) （a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5；(3) a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a.解：(1) 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋234×214＋22×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2＋108＝110.(2) 原式＝a －13·b 12·a －12·b 13a 16·b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(3) 原式＝a 13（a －8b ）（2b 13）2＋2b 13a 13＋（a 13）2×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13（a －8b ）a －8b×a 13×a 13＝a.备选变式（教师专享） 化简下列各式：(1) 12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋34313－⎝ ⎛⎭⎪⎫127－13；(2) 56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.解：(1)33；(2)－5ab 4ab 2.题型2 对数的运算例2 求下列各式的值．(1) log 535＋2log 12 2－log 5150－log 514；(2) log 2125×log 318×log 519.解：(1) 原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝2.(2) 原式＝lg 125lg2×lg 18lg3×lg 19lg5＝－2lg5lg2×－3lg2lg3×－2lg3lg5＝－12.变式训练(1) 计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；(2) 已知log 189＝a ，18b＝5，用a 、b 表示log 3645.解：(1) 原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1258×12.5－lg9lg8·lg8lg27＝1－2lg33lg3＝13. (2) 由题意，得b ＝log185，故log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 185log 18324－log 189＝a ＋b2－a.题型3 指数与对数的混合运算例3 已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1. (1) 求证：2x ＋1y ＝2z；(2) 试比较3x 、4y 、6z 的大小．(1) 证明：令k ＝3x ＝4y ＝6z＞1，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，于是1x ＝log k 3，1y ＝log k 4，1z ＝log k 6，从而2x ＋1y ＝2log k 3＋log k 4＝log k 32＋log k 4＝log k 36＝2log k 6，等式成立．(2) 解：由于k ＞1，故x 、y 、z ＞0.3x 4y ＝3log 3k 4log 4k ＝3lgklg34lgk lg4＝3lg44lg3＝lg43lg34＝lg64lg81＜1； 4y 6z ＝2log 4k 3log 6k ＝2lgklg43lgk lg6＝2lg63lg4＝lg62lg43＝lg36lg64＜1， 故3x ＜4y ＜6z.备选变式（教师专享）若xlog 34＝1，求23x－2－3x2x ＋2－x 的值．解：由xlog 34＝1，知4x＝3， ∴23x－2－3x2x ＋2－x ＝()2x －2－x ()22x ＋2－2x ＋12x＋2－x＝（22x －1）（22x ＋2－2x＋1）22x＋1＝（3－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13＋13＋1＝136.1. (2013·四川)计算：lg 5＋lg 20＝________． 答案：1解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg10＝1.2. (2013·长春调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥4，f （x ＋1），则f(2＋log 23)＝________．答案：124解析：由3<2＋log 23<4，得3＋log 23>4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝124. 3. (2013·新课标)已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为________．答案：a>b>c解析：a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由于log 32>log 52>log 72，所以a>b>c.4. (2013·温州二模)已知2a ＝3b ＝6c，若a ＋b c ∈(k ，k ＋1)，则整数k 的值是________．答案：4解析：设2a ＝3b ＝6c＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，c ＝log 6t ，所以a ＋b c ＝log 2t log 6t ＋log 3t log 6t ＝log t 6log t 2＋log t 6log t 3＝log 26＋log 36＝2＋log 23＋log 32.因为2<log 23＋log 32<3，所以4<a ＋bc <5，即整数k 的值是4.1. 设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则a 、b 、c 的大小关系是________． 答案：a ＞c ＞b解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c ＝lge ，作商比较知c>b ，故a>c>b.2. 已知三数x ＋log 272，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，则公比为________． 答案：3解析：∵ 三数x ＋log 272，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，∴ (x ＋log 92)2＝(x ＋log 272)(x ＋log 32)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12log 322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13log 32(x ＋log 32)，解得x ＝－14log 32，∴ 公比q ＝x ＋log 32x ＋12log 32＝3.3. 设a ＞1，若对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，则a的取值范围是________．答案：a≥2解析：∵ a＞1，x ∈[a ，2a]， ∴ log a x ∈[1，1＋log a 2]．又由y∈[a，a 2]，得 log a y∈[1，2]， ∵ log a y ＝3－log a x ， ∴ 3－log a x ∈[1，2]， ∴ log a x ∈[1，2]，∴ 1＋log a 2≤2，log a 2≤1，即a≥2.4. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋1＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋n －1＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．解：左边＝log a m ＋log a ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋1m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m ＋1＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n m ＋n －1＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫m ·m ＋1m ·m ＋2m ＋1·…·m ＋n m ＋n －1＝log a (m ＋n)，∴ 已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1.∵ m 、n 为正整数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.1. 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的，在对含有字母的对数式化简时必须保证恒等变形．3. 在解决指数、对数问题时，指数式与对数式的互化起着重要作用．请使用课时训练（B）第7课时（见活页）.[备课札记]。