华东理工大学2009–2010学年第一学期《概率论与数理统计》期末考试试卷B 答案 2010.01开课学院： 理学院， 专业：大面积， 考试形式：闭卷， 所需时间120分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 评卷人附表：975.0)96.1(=Φ;0860.2)20(975.0=t ;59.3)11,9(,91.3)9,11(975.0975.0==F F 。

一、（共8分）已知有3个箱子，第一个箱子中有4个黑球，2个白球，第二个箱子中有3个黑球，3个白球，第三个箱子中有5个黑球，1个白球，现随机取一个球。

（1）求取出的为黑球的概率；（2）已知取出的为黑球，求此球来源于第一个箱子的概率。

解 设 A ={取出的为黑球} ，i B ={取第i 个箱子} 。

(1)由全概率公式就可求出事件A 的概率)()()()()()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=32653163316431=⨯+⨯+⨯= (2)由Bayes 公式可以得到)()()()()()(1111A P B A P B P A P AB P A B P ==.3/13/29/2==二．（共8分）某单位设置一台电话总机,共有200个分机。

设每个分机在任一时刻使用外线通话的概率为5%,各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少外线,才能以97.5%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？ 解 设ξ是要使用外线的分机数，ξ～),(p n b ,200=n ,05.0=p 。

近似有 ξ～),(npq np N ，其中 1005.0200=⨯=np ，5.995.010=⨯=npq 。

设k 是需要设置的外线数。

根据题意，各个分机通话时有足够的外线可供使用，即 k ≤ξ 的概率要大于97.5％，即要有}{k P ≤ξ≈975.0)5.910(≥-Φk 。

查表可得96.15.910≥-k ，解得 041125.165.996.110≈⨯+≥k ，大于它的最小整数是17，所以，需要设置17条外线。

三．（共9分）设),(ηξ的联合概率分布表为η ξ -1 0 10 181 121x 41 y 41 如果已知0),cov(=ηξ，求：（1）y x ,；（2）)),(max(ηξE ;(3) ηξ,独立吗？ 解 （1）ξ的边缘概率分布为ξ0 1}{i x P =ξx+5/24y+1/2.247=+y x η的边缘概率分布为η1-0 1}{j y P =η83 y +121x +41ξη 1-0 1P41 21 41 得及0),cov(,0,81,21==-=+=ηξξηηξE x E y E .61,81==y x（2）),max(ηξ0 1P5/2419/242419)),(max(=ηξE . (3)由===},{j i y x P ηξ}{i x P =ξ}{j y P =η,一切j i ,均成立。

故ξ与η相互独立。

四．填空题：（3分一题，共24分）1)向单位圆122<+y x 内随机地投下3点，则这3点恰有2点落在同一象限内的概率为__9/16_。

2)设总体 ξ 的概率分布为ξ-1 0 1 }{k P =ξt0.20.3则D ξ=__0.76_______。

3)设~ξ)6,0(U ，η=⎩⎨⎧>≤404,1ξξ ，则η的数学期望E η=__2/3____。

4) 设ηξ,为两个随机变量，满足,73}0{}0{,72}0,0{=≥=≥=≥≥ηξηξP P P 则{max(,)0}P ξη<=_3/7_______。

5)已知随机变量ξ,η满足2,2,1,4,0.5,E E D D ξηξηξηρ=-====-用切比雪夫不等式估计{6}P ξη+≥≤__1/12____。

6)已知ξ的概率密度2()2()0x e x x x θθϕθ--⎧≥=⎨<⎩，其中θ是未知参数,12(,,,)n X X X是ξ的样本,这时：1)θ的矩估计为21-X ,2）θ的极大似然估计为i ni X min 1≤≤。

7)设1234,,,X X X X 为总体~(0,1)N ξ的样本,若221234(2)(34)a X X b X X -+- 服从于2(2),χ则常数a =__1/5__,b =__1/25__。

8)某炼铁厂炼出的铁水含碳量（单位：%）服从正态分布),(2σμN ，根据长期积累的资料，已知其中108.0=σ。

现测量5炉铁水，测得含碳量为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。

则总体均值μ的水平为95%的置信区间为_[4.27,4.46] 。

五.（共9分）设总体 ξ 的概率分布为ξ1 2}{k P =ξθ31-θθ2其中，θ（310<<θ） 是未知参数，利用总体 ξ 的如下样本观测值 1，0，1，2，1，求θ的矩法估计值和极大似然估计值。

解 ξE θθθ221)31(0⨯+⨯+-⨯=θ5= ，155512101==++++=x 。

解方程 1ˆ5===∧x E ξθ ，得到 θ 的矩法估计值 51ˆ=θ。

似然函数∏===ni i x P L 1}{ξ131)2()31(θθθ⨯⨯-=4)31(2θθ-= 。

θθln 4)31ln(2ln ln +-+=L ，解方程 θd ln d L 04313=+--=θθ 得到 θ 的极大似然估计值 154ˆ=θ。

六.（共9分） 设二维随机变量),(ηξ的联合概率密度为e 0(,)0yA x y x y ϕ-⎧<<=⎨⎩其他。

求：（1）系数A ； （2）),(ηξ的边缘概率密度；（3）ηξ,独立吗？为什么？（4）),(ηξ落在区域{}(,)1D x y x y =+≤内的概率。

解 （1）因为⎰⎰⎰⎰+∞+∞-+∞∞-+∞∞-==0d e d d ),(1y A dx y x y x xy ϕA x A x ==⎰+∞-0d e ，所以 .1=A 。

（2）边缘概率密度⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000e000d e d ),()(x x x x yy y x x xxx ϕϕξ ， ⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0e000d e d ),()(0y y y y y xx y x y yy y ϕϕη 。

（3）因为(,)()()x y x y ξηϕϕϕ≠,所以ηξ,不独立。

（4）{}⎰⎰=∈Dy x y x D P d d ),(),(ϕηξ.21d e d 12/12/101------==⎰⎰e e y x xxy七. 选择题：（3分一题，共24分）1)．对任意二事件B A ,，与B B A =+不等价的是（D ）。

()()()();;;.A A B B B A C AB D AB φφ⊂⊂==2). 已知21)(,31)(,41)(=+==B A P B P A P ，则=-)(B A P （A ）。

（A ）1/4; （B ）1/3; （C ）1/2 ; （D ）1/12.3). 假设事件A 与B 满足1)(0,1)|(<<=B P A B P ，则下列结论中正确的是（B ）。

（A ）A 是必然事件；（B ）1)|(=B A P ；（C ）B A ⊃；（D ）B A ⊂.4). 每次试验的成功概率为)10(<<p p ，进行重复试验，直到第10次试验才取到4次成功的概率为（C ）。

（A ）64410)1(p p C -；（B ）5449)1(p p C -；（C ）6439)1(p p C -；（D ）6339)1(p p C -.5). 设ξ),4,(~2μN }4{1-≤=μξP p ，η),5,(~2μN 2{1}p P ημ=≥+，则（B ）。

(A) 对任何实数μ ，都有21p p >; (B) 对任何实数μ ，都有21p p <; (C) 对任何实数μ ，都有21p p =; (D) 只对μ的个别值，有21p p = .6).设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=1,01,1)(2x x x A x F ,则数学期望)(X E 为（D ）。

（A ）1; （B ）A ; （C ）32; （D ）2. 7)．随机掷100次硬币，设ξ为出现的正面数，η为出现的反面数，则相关系数ξηρ=（C ）。

（A ） 1; （B ）0; （C ）-1 ; （D ）2.8).样本12(,,,)n X X X 取自总体X ，已知μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则可作为2σ的无偏估计的是（A ）。

（A ）当μ已知时，∑=-n i i X n 12)(1μ; （B ）当μ已知时，∑=--n i i X n 12)(11μ; （C ）当μ未知时，∑=-n i i X n 12)(1μ; （D ）当μ未知时，∑=--n i i X n 12)(11μ.八.（共9分）为了确定在不同的操作方法下，炼钢的得率（可用钢材量与投入炉中金属量之比，单位：%）是否有显著的差异，在同一平炉上，用原方法炼10炉钢，得到得率如下：78.1 ，72.4 ，76.2 ，74.3 ，77.4 ，78.4 ，76.0 ，75.5 ，76.7 ，77.3 ； 用新方法炼12炉钢，得到得率如下：79.1 ，81.0 ，77.3 ，79.1 ，80.0 ，78.2 ，79.1 ，79.1 ，77.3 ，80.2 ，82.1 ，80.1 。

设这两个样本相互独立，都来自正态总体。

问：（1）是否可以认为两种方法下炼钢得率的方差相等？（显著水平05.0=α） （2）是否可以认为两种方法下炼钢得率的均值相等？（显著水平05.0=α）解 设两种方法下炼钢的得率分别为总体 ξ～),(211σμN 和 η～),(222σμN 。

10=m ，2300.76=X ，32456.32=x S ；12=n ，3833.79=Y ，99606.12=y S 。

（1）问题相当于要检验 0H ：2221σσ= 。

666.199606.132456.322===yx S S F 。

对05.0=α，查F 分布表，可得59.3)11,9()1,1(975.021==---F n m F α ，256.091.31)9,11(1)1,1(1)1,1(975.0212===--=---F m n F n m F αα ，因为 59.3666.1256.0<=<F ，接受 0H ：2221σσ= 。

（2） 问题相当于要检验 0H ：21μμ=。

61055512121099606111324563921122...)()(≈-+⨯+⨯=-+-+-=n m S n S m S yx w ，5727412110161055138337923007611....-≈+⨯-=+-=n m S Y X T w 。