第三讲 数列的概念与表示方法
【知识要点】
1.数列的概念
按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列一般形式可以写成a 1,a 2,a 3，…，a n ,…，简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项.
2.数列的表示方法
（1）列举法 （2）图象法 （3） 解析法 （4）递推法 3.数列的分类
4.数列与函数的关系
从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N *
（或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列. 5.数列的通项公式
如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f(n)，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式.不是每个数列都有通项，如果数列有通项公式,但其通项公式在形式上不一定惟一. 6.求数列通项公式的常见类型与方法 （1）已知数列的前n 项，求其通项公式
①据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等.并对此进行归纳、联想. ②根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（-1）n
或（-1）n+1
来调整. ③观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决.
题型一 由数列的前n 项求其通项公式 例1 写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10， (2)
,32
31
,1615,87,43,21
(3)
,13
37,1126,917,710,1,32--- (4) ，3333,333,33,3
题型二 已知数列的前n 项和，求通项公式
例2已知下列数列
{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .
⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n n S .
题型三 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项
例3数列
{}n a 中，452+-=n n a
n
.
⑴18是数列中的第几项？
⑵n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值.
题型四 数列的单调性及其应用
例4设)10(4log log )(2<<-=x x x f x ，设数列{}n a 的通项满n f n a
2)2(= (*∈N n ),
问
{}n a 有没有最小的项？若有求出最小项，若没有请说明理由.
【课堂练习】
1. 已知数列{}的n a 前n 项和2
1
++=
n n S n , 则65a a +=（ ）
A.
201 B.
241 C.
281 D.
32
1 2. 已知数列{a n }的通项公式是a n =1
+bn an , 其中a , b 均为正常数, 那么a n 与a n +1
的大小关系是（
）
A. a n ＞a n +1
B. a n ＜a n +1
C. a n =a n +1
D. 不确定
3. 数列{a n }满足a 1=
2
1, a 1+a 2+…+a n =n 2·a n , 则a n
= .
4. 将奇数分组如下: (1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), …, 使得第n 组中含有n 个数, 那么第n 组中的这n 个奇数的和是
5. 在数列{a n }中, 已知S n =3+2a n , 求a n .
6. 数列{a n }中, 前n 项和S n =an 2
+b n , 其中a , b 是常数, 且a ＞0, a +b ＞1, n ∈N *
.
(1) 求{a n }的通项公式a n , 并说明a n +1＞a n ＞1(n ∈N *
);
(2) 令c n =log n
a a n +1, 试判断数列{a n }中任意相邻两项大小.
【思维拓展】
例1在数列{a n }中，a 1=1, n
n a n a )1
11(1
+-
=+,
(1)求数列｛an ｝的通项公式；
(2)若对于一切n>1的自然数，不等式3
2
)1(log 121 (22)
1+->
+++++a a a a a n n n 恒成立，试求实数a 的取值范围．
【课外作业】
1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 3
，则a 5+a 6的值为( ) A.91
B.152
C.218
D.279
2.已知数列1，1212321321，，，，，12344321
，，，
，…，则56
是数列中的( ) A.第48项 B.第49项
C.第50项
D.第51项
3.已知数列{a n }的通项a n =na
nb c
+ (a 、b 、c 都是正实数)，则a n
与a n
+1的大小关系是( )
A.a n ＞a n +1
B.a n ＜a n +1
C.a n =a n +1
D.不能确定
4.在数列{a n }中，a n =4n-5
2
,a 1+a 2+…+a n =an 2
+bn,n ∈N *
，其中a,b 为常数，则ab 等于( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
5.在数列{a n }中，)1
1ln(,211
n
a a a n n ++==+，则n a =( )
A.2+n ln
B.2+(n-1)n ln
C.2+n n ln
D.1+n n ln
6.已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *
，a n =n 2
+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________________.
7.已知数列 2 008，2 009，1，-2 008，-2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 009项之和S 2 009等于_____________. 8.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S
n
-=.
⑴求3
21a a a ++；
⑵求10321a a a a ++++ ； ⑶求n
a a a a ++++ 321.
9. 已知函数,22)(x x x f --=数列{}n a 满足n a f n 2)(log 2-=.
(1)求数列
{}n a 的通项公式；
(2)求证：数列
{}n a 是递减数列．。