高三总复习圆锥曲线一、本讲进度«圆锥曲线方程»复习 二、本讲要紧内容1、三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。

2、直线和圆锥曲线位置关系。

3、求轨迹方程的常规方法。

三、复习指导1、上一章差不多复习过解析几何的差不多咨询题之一：如何求曲线〔点的轨迹〕方程。

它一样分为两类基此题型：一是轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程确实是典型例题；二是未知轨迹类型，现在除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用轨迹的定义解题，化归为求轨迹类型的轨迹方程。

因此在求动点轨迹方程的过程中，一是查找与动点坐标有关的方程〔等量关系〕，侧重于数的运算，一是查找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在差不多轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

2、三种圆锥曲线的研究〔1〕统一定义，三种圆锥曲线均可看成是如此的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d为P 到定直线的距离，F ∉，如图。

因为三者有统一定义，因此，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。

〔2〕椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。

〔3〕圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

②定量：椭 圆双 曲 线 抛 物 线焦 距 2c长轴长 2a —— 实轴长 ——2a短轴长 2b 焦点到对应 准线距离 P=2c b 2p通径长2·ab 22p举焦点在x轴上的方程如下：握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

3、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判定：△法〔△适用对象是二次方程，二次项系数不为0〕。

其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标确实是方程组的解。

当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。

4、圆锥曲线中参数取值范畴咨询题通常从两个途径摸索，一是建立函数，用求值域的方法求范畴；二是建立不等式，通过解不等式求范畴。

四、典型例题例1、 依照以下条件，求双曲线方程。

（1）与双曲线116y 9x 22=-有共同渐近线，且过点〔-3，32〕； （2）与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点〔23，2〕。

解题思路分析：法一：〔1〕双曲线116y 9x 22=-的渐近线为x 34y ±=令x=-3，y=±4，因432<，故点〔-3，32〕在射线x 34y -=〔x ≤0〕及x 轴负半轴之间，∴ 双曲线焦点在x 轴上 设双曲线方程为1by ax 2222=-，〔a>0，b>0〕 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=1b )32(a )3(34a b 2222 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==4b 49a 22 ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-〔2〕设双曲线方程为1by ax 2222=-〔a>0，b>0〕那么 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1b 2a)23(20b a 222222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==8b 12a 22∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-法二：〔1〕设双曲线方程为λ=-16y 9x 22〔λ≠0〕∴ λ=--16)32(9)3(22∴ 41=λ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（3）设双曲线方程为1k 4y k 16x 22=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>+>-0k 40k 16 ∴ 1k42k 16)23(22=+--解之得：k=4∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-评注：与双曲线1by ax 2222=-共渐近线的双曲线方程为λ=-2222by ax 〔λ≠0〕，当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。

与双曲线1b y a x 2222=-共焦点的双曲线为1kb y ka x 2222=--+〔a 2+k>0，b 2-k>0〕。

比较上述两种解法可知，引入适当的参数能够提高解题质量，专门是充分利用含参数方程的几何意义，能够更准确地明白得解析几何的差不多思想。

例2、设F 1、F 2为椭圆14y 9x 22=+的两个焦点，P 为椭圆上一点，P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF ||PF |21的值。

解题思路分析：当题设涉及到焦半径那个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。

法一：当∠PF 2F 1=900时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+5c )c 2(|PF ||PF |6|PF ||PF |22222121得：314|PF |1=，34|PF |2= ∴27|PF ||PF |21= 当∠F 1PF 2=900时，同理求得|PF 1|=4，|PF 2|=2 ∴2|PF ||PF |21= 法二：当∠PF 2F 1=900，5x P = ∴ 34y P ±= ∴ P 〔34,5±〕 又F 2〔5，0〕∴ |PF 2|=34 ∴ |PF 1|=2a-|PF 2|=314 当∠F 1PF 2=900，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+14y 9x )5(y x 22222得：P 〔554,553±±〕。

下略。

评注：由|PF 1|>|PF 2|的条件，直角顶点应有两种情形，需分类讨论。

例3、设点P 到M 〔-1，0〕，N 〔1，0〕的距离之差为2m ，到x 轴、y 轴的距离之比为2，求m 取值范畴。

解题思路分析：依照题意，从点P 的轨迹着手 ∵ ||PM|-|PN||=2m∴ 点P 轨迹为双曲线，方程为1m1y mx 2222=--〔|m|<1〕 ①又y=±2x 〔x ≠0〕 ② ①②联立得：2222m 51)m 1(m x --=将此式看成是222m51)m 1(m --关于x 的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m 的取值范畴。

依照双曲线有界性：|x|>m ，x 2>m 2∴2222m m51)m 1(m >--又0<m 2<1 ∴ 1-5m 2>0 ∴ 55|m |<且m ≠0 ∴ )55,0()0,55(m -∈ 评注：利用双曲线的定义找到点P 轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一样考虑利用函数思想，建立函数关系式。

例4、x 2+y 2=1，双曲线(x-1)2-y 2=1，直线同时满足以下两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。

求直线方程。

解题思路分析：选择适当的直线方程形式，把条件〝是圆的切线〞〝切点M 是弦AB 中点〞翻译为关于参数的方程组。

法一：当斜率不存在时，x=-1满足；当斜率存在时，设：y=kx+b 与⊙O 相切，设切点为M ，那么|OM|=1∴11k |b |2=+∴ b 2=k 2+1 ①由⎩⎨⎧=--+=1y )1x (b kx y 22得：(1-k 2)x 2-2(1+kb)x-b 2=0 当k ≠±1且△>0时，设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，那么中点M 〔x 0，y 0〕，20221k1kb 1x ,k1)kb 1(2x x -+=-+=+∴ y 0=kx 0+b=2k1b k -+∵ M 在⊙O 上 ∴ x 02+y 02=1∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k 2)2② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==332b 33k 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=332b 33k ∴ ：332x 33y -=或33233y +-= 法二：设M 〔x 0，y 0〕，那么切线AB 方程x 0x+y 0y=1 当y 0=0时，x 0=±1，明显只有x=-1满足； 当y 0≠0时，000y 1x y x y +-= 代入(x-1)2-y 2=1得：(y 02-x 02)x 2+2(x 0-y 0)2x-1=0 ∵ y 02+x 02=1∴ 可进一步化简方程为：(1-2x 02)x 2+2(x 02+x 0-1)x-1=0 由中点坐标公式及韦达定理得：20200x 211x x x --+-=∴即2x 03-x 02-2x 0+1=0 解之得：x 0=±1(舍)，x 0=21 ∴ y 0=23±。

下略 评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件〔〝相切〞和〝中点〞〕转化为关于参数的方程组，因此提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。

例5、A 、B 是抛物线y 2=2px 〔p>0〕上的两点，且OA ⊥OB ， （1）求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积； （2）求证：直线AB 过定点；（3）求弦AB 中点P 的轨迹方程； （4）求△AOB 面积的最小值； （5）O 在AB 上的射影M 轨迹方程。

解题思路分析：设A 〔x 1,y 1〕，B 〔x 2,y 2〕，中点P 〔x 0,y 0〕 〔1〕22OB 11OA x y k ,x y k == ∵ OA ⊥OB ∴ k OA k OB =-1 ∴ x 1x 2+y 1y 2=0 ∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2 ∴0y y p2y p 2y 212221=+⋅ ∵ y 1≠0，y 2≠0 ∴ y 1y 2=-4p 2∴ x 1x 2=4p 2〔2〕∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2∴ 〔y 1-y 2〕(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2) ∴212121y y p 2x x y y +=--∴ 21AB y y p2k +=∴ 直线AB ：)x x (y y p2y y 1211-+=-∴ 211121y y px 2y y y px2y +-++=∴ 212112121y y y y px 2y y y px2y ++-++=∵ 221121p 4y y ,px 2y -==∴ 21221y y p 4y y px 2y +-++=∴ )p 2x (y y p2y 21-+=∴ AB 过定点〔2p ，0〕，设M 〔2p ，0〕 〔3〕设OA ∶y=kx ，代入y 2=2px 得：x=0，x=2kp 2∴ A 〔k p2,kp 22〕同理，以k1-代k 得B 〔2pk 2，-2pk 〕 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)k k 1(P y )k 1k (p x 0220 ∵ 2)k k k 1(k1k 222+-=+ ∴2)py(p x 200+= 即y 02=px 0-2p 2∴ 中点M 轨迹方程y 2=px-2p 2〔4〕|)y ||y (|p |)y ||y (||OM |21S S S 2121BOM AOM AOB +=+=+=∆∆∆ ≥221p 4|y y |p 2=当且仅当|y 1|=|y 2|=2p 时，等号成立 评注：充分利用〔1〕的结论。