任何两点，都可用折线连结起来， E
且该折线上的点都属于D ，则称
开集 D 是连通的．
• •
连通的开集称为区域或开区域．
y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ，
的间断点.
例5
讨论函数
f
( x,
y)
x3
x
2
y3 y2
,
( x, y) (0,0)
0,
( x, y) (0,0)
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x, y) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 x2 y2 时
数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间
设n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组 ( x1 , x2 , , xn )的全体为n 维空间，而每个n 元数 组( x1 , x2 , , xn ) 称为n 维空间中的一个点，数 xi 称为该点的第i 个坐标.
说明：
1. n维空间的记号为 Rn;
即 AP K
对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 例如，
y
{( x, y) | 1 x2 y2 4}
有界闭区域；
o
x
{( x, y) | x y 0}
无界开区域．
（3）聚点（补充）
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个 点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个点属 于点集 E，则称 P 为 E 的聚点.
f
(
y
2
,
y)
(
y6 y4
y2 y4
)2
1 4
.
当P P0时的极限，记为 lim f (P) A.
P P0
四、多元函数的连续性
定义3 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集D, P0
是其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f ( P0 )
则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设 P0是函数 f (P) 的定义域的聚点，如果 f (P)在点 P0处不连续，则称 P0是函数f (P)
3、掌握多元复合函数的求导法则，会求隐 函数（包含由方程组确定的隐函数）的偏导数；
基本要求（续）
4、理解多元函数的极值和条件极 值的概念，会求多元函数极值、最值， 熟悉条件极值与拉格朗日乘数法；
作业
一 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 13 二 1（1）（3）；2（3）；3（1）（3）
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
x0
sin( x2 y) x2 y2
0.
y0
例4
证明
lim
x0
x3 y x6 y2
不存在．
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
第五章 多元函数微分法 及其应用
主要内容
1. 多元函数的基本概念 2. 偏导数 3. 全微分及其应用 4. 多元复合函数的求导法则 5. 隐函数的求导公式 6. 微分法在几何上应用 7. 多元函数的极值及其求法
基本要求
1、理解多元函数的概念，了解二元函数 的极限、连续性等概念；
2、理解偏导数、高阶偏导数和全微分的 概念，了解偏导数的几何意义、全微分 存在的 充分和必要条件和高阶混合偏导数与求导次序 无关的条件；
y0
证 取 y kx3,
lim
x0
x
x3 y 6 y2
lim x0
x3 kx3 x6 k2x6
1
k k
2
,
y0
ykx3
其值随k的不同而变化，
故极限不存在．
观察
z
x3 y x6 y2
图形,
lim
x0
x3 y x6 y2
不存在.
y0
确定极限不存在的方法：
（1） 令P( x, y)沿 y kx 趋向于P0 ( x0 , y0 )，若 极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2
求证lim( x2 x0
y2 )sin
x2
1
y2
0
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
（2） 二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数 z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的 P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M( x, y, z) ， 当 x取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
（5）（7）；4（1）；5；7（1）（3）； 8 （ 1 ） （ 3 ） （ 5 ） ； 9 （ 1 ） （ 3 ） ； 10 （1）（3）；12（1）；13（1）；14； 16；17；18（1）（3）；19（1）；20
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
（1）邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
z
左图球面.
D {(x, y) x2 y2 a2}.
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
x
z a2 x2 y2.
三、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点，如果对于任意给定的正
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
解 原式 lim xy 1 1 lim
x0 xy( xy 1 1) x0
y0
y0
1 xy 1 1
1. 2
课堂思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
（2）找两种不同趋近方式，使lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，此时也可断言 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
利用点函数的形式有n元函数的极限
定 义 2 设n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集
D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D ， 都 有 | f ( P ) A | 成立，则称 A 为n 元函数f (P )
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
说明：
1. 内点一定是聚点； 2.边界点可能是聚点；
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点．
3. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
二、多元函数概念
（1）二元函数的定义
设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点