2
则有(sin x)(k1) (sin(x k )) cos(x k ) sin(x k 1 )
2
2
2
依数学归纳法知结论成立
类似有: (cosx)(n) cos(x n ),n 1,2,
2
例4 求y ln(1 x)的n阶导数
解： (ln(x 1)) 1 (1 x)1, 1 x
x3ex 90x2ex 2610xex 24360ex
教材上还有例6，是通过找递推关系式来求解。
二 高阶微分
1 概念 若y f (x)的微分函数 dy关于x可微,则称y f (x)关于x二阶可微,
其微分称为二阶微分，记作： d 2 y, d 2 f (x), 类似地有d n y, d n f (x) 若记(dx)n dxn,则有:
y(30) (x3ex )(30)
x3 (ex )(30) C310 (x3 )(ex )(29) C320 (x3 )(ex )(28) C330 (x3 )(ex )(27)
x3(1)30 ex 30(3x2 )(1)29 ex 30 29 (6x)(1)28 ex 21
30 29 28 6 (1)27 ex 3 21
2
2
sin x
分析：正弦函数的导数是4阶一个轮回，而其本身就是一个周期函数，函 数值一个周期重复一次，因此可考虑利用其周期来处理。
猜想其n阶导数为：
(sin x)(n) sin(x n )
2
下面用数学归纳法进行证明：
(1)n 1时结论显然成立
(2)假设n k时结论成立,即有(sin x)(k) sin(x k )
高阶导数与高阶微分学习笔记
一、高阶导数 二、高阶微分
一、高阶导数
1 二阶导数的定义
若y f (x)的导函数 y f (x)在x0可导， 则称
f (x)在x0的导数为 f (x)在x0的二阶导数 ， 记作
y x x0 或
d2y dx2
xx0 或
d2 f dx2 xx0
按定义有 :
f (x0 )
d 2 y d (dy) d ( f (x)dx) dxd[ f (x)] f (x)(dx)2 f (x)dx2
d n y d (d n1 y) f (n) (x)dxn
因此高阶导数也有相应的微商形式：
f
( x)
d2y dx2
f
(n) (x)
dny dxn
2 注：高阶微分不具有形不比变性
y (1)(1 x)2
y (1)(2)(1 x)3, y(4) (1)(2)(3)(1 x)4 L
y(k) (1)(2)L (k 1)(1 x)k (1)k1(k 1)!(1 x)k
因此类似地可用数学归纳法进行证明，得出其一般结论为：
(ln(x 1))(n) (1)n1(n 1)!(x 1)n, n 1,2,
例1 求y xk (k为正整数)的n阶导数y(n)
解： y (xk ) kxk1
y ( y) (kxk1) k(k 1)xk2 LLLL
y(k1) k (k 1)L 3 2x, y(k) k !, y(k1) 0
当k n时, y(k) k(k 1)L (k n 1)xkn ,
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
注： 若f (x)在D上每一点都二阶可导,则有二阶导函数f (x),
依定义有: f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
2 n阶导数 设f (x)的n 1阶导函数f (n1) (x)在x0可导，
则称其导数为f (x)在x0处的n阶导数,记作f (n) (x0 )或y(n)
等
x x0
按定义有 :
f
(n)
( x0
)
lim
xx0
f (n1) (x) f (n1) (x0 ) x x0
当然可以类似定义n阶导函数f (n) (x)
3 、 高阶导数的计算
若是计算一个具体阶次的高阶导数，则应由一阶开始逐阶计算，若为任 意阶次的高阶导数的计算，则应首先求出几个低阶导数，分析各阶之间的关 系，然后猜想n阶的结论，再用数学归纳法进行证明。
当k n时, y(k) 0
例2 设y ex , 求y(n) (0)
解： y ex , y ex ,L y(n) ex , y(n) (0) e0 1
例3 求y sin x和y cos x的n阶导数
解： (sin x) cos x sin(x ), (sin x)(5) cos x sin(x 5 )
2
2
(sin x) sin x sin(x 2 ), (sin x)(6) sin x sin(x 6 )
2
2
(sin x) cos x sin(x 3 ),
2
(sin x)(7)
cos x sin(x 7 )
2
(sin x)(4) sin x sin(x 4 ), (sin x)(8) sin x sin(x 8 )
所以二阶微分不具有形式不变性， 即x为自变量
和中间变量时dy的形式是不一样的
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x 1 x
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
解:
1 x
y(n)
n! (1 x)n1
,
n3
(3)
y
x2
1 3x
2
提示:
令
1
(x 2)(x 1)
当x是自变量时,dx关于x是常数, 当x是中间变量时,dx是关于自变量的函数,
因此有: (1)若x为自变量,则d 2 y d ( f (x)dx) f (x)(dx)2
(2)若x为中间变量,则
d 2 y d[ f (x)dx] dxd[ f (x)] f (x)d (dx)
f (x)(dx)2 f (x)d (dx)
4 、高阶导数公式（教材上为小字）
（1）公式1： [ f (x) g(x)](n) f (n) (x) g(n) (x)
（2）公式2：
n
[ f (x)g(x)](n) Cnk f (k) (x)g (nk) (x)
k 0
f (n) (x)g (0) (x) Cn1 f (n1) (x)g (1) (x) L
AB x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1)x 2 x 1
y(n)
(1)n n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
(4) y sin6 x cos6 x
解:
sin4 x sin2 x cos2 x cos4 x
1 3 sin 2 2x 4
Cnk f (nk ) (x)g (k ) (x) L f (x)(0) g (n) (x)
其中f (0) (x) f (x), g (0) (x) g(x),
称此公式为莱布尼兹公式, 类似于二项展开式(a b)n的形式
例5 设y x3ex,求y(30)
解： (x3)(k) 0, k 3;(ex )(n) (1)nex
a3 b3 (a b) (a2 ab b2 )
y(n)
3 8
4n
cos(4x
n
2
)