§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。

一般地，函数)(x y y =的n 阶导数就是hx y h x y x yx yn n h n n )()(lim ])([)()1()1(0)1()(--→--+='= (0)()()y x y x =⎡⎤⎣⎦ 而n 阶微分就是n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量)因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成nn x x y d )(d 或简记成 n n xyd d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中.例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ====例34 对于函数x y sin =，则cos sin ,sin sin 2,222y x x y x x '⎡⎤πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==+=+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦一般地，()sin 2n n y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭),2,1( =n . 同理，对于函数cos y x =，有()cos 2n n y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭),2,1( =n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则223112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''==-=-+++ 一般地，（n 阶导数）()1(1)!(1)(1,2,)(1)n n nn yn x --=-=+（n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1)n n n n nnn y y x x n x --==-=+ 例36 设函数1()e(0),(0)0x f x xf -=≠=.证明：),2,1(0)0()( ==n f n .证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为2211001lim ()lim e lim 0(0)e u x x ux x u f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭-→→→∞=======另一方面，22221132300226lim ()lim e lim lim 3lim e 2e e u x x u u u x x u u u u u u f x x u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-→→→∞→∞→∞⎛⎫∞∞⎛⎫⎛⎫⎪'=⋅======= ⎪ ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭⎝⎭213lim02eu u u →∞==)0(f '= [点0的导数等于点0近旁导数的极限]因此，一阶导数)(x f '在点0是连续的. 一般地，当0≠x 时，2211364246()e ,()e ,x x f x f x xxx --⎛⎫'''==- ⎪⎝⎭容易看出，对于任何正整数n ，1()1()en x f x P x -⎛⎫= ⎪⎝⎭[其中)(u P 为关于u 的多项式] 且根据洛必达法则，(※) 2221()0()()lim ()lim ()e limlim 0e (e )u x n u u u x u u u P u P u f x P u ⎛⎫= ⎪⎝⎭-→→∞→∞→∞'∞⎛⎫======== ⎪∞'⎝⎭于是，因为一阶导数)(x f '在点0是连续的，根据式(※)，所以0)(lim )0(0=''=''→x f f x 且)(x f ''在点0也是连续的.依次类推(或用数学归纳法)，可得()()0(0)lim ()0n n x f f x →==2.泰勒公式 一个n 次多项式230123()()()()()n n P x b b x a b x a b x a b x a =+-+-+-++-中，它的系数(0,1,2,,)k b k n = 与()P x 有什么关系呢？显然，0()b P a =；又因为21123()2()3()()n n P x b b x a b x a nb x a -'=+-+-++- 223()232()(1)()n n P x b b x a n n b x a -''=+⋅-++--33()32(1)(2)()n n P x b n n n b x a -'''=⋅++---()()(1)(2)321n n P x n n n b =--⋅⋅⋅所以，1()b P a '=， 2()2!P a b ''=， 3()3!P a b '''=， ， ()()!n n P a b n = 因此，()23()()()()()()()()()()1!2!3!!n n P a P a P a P a P x P a x a x a x a x a n ''''''=+-+-+-++-⑴带皮亚诺余项的泰勒公式 对于一般的函数()f x ，若它在某点a 有一阶导数()f a '(即可微分)，根据定义，则有()()()()f a x f a f a x o x '+∆-=∆+∆即()x x a ∆=-()()()()[()]f x f a f a x a o x a '=+-+-若函数()f x 在点a 有二阶导数()f a ''，令2()()(,)()()()()1!2!f a f a R a x f x f a x a x a '''⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦则有222()()()()()()(,)01!2!lim lim ()()0x a x a f a f a f x f a x a x a R a x x a x a →→'''⎡⎤-+-+-⎢⎥⎛⎫⎣⎦= ⎪--⎝⎭[()()]()()01()()limlim ()02()02x a x a f x f a f a x a f x f a f a x a x a →→''''''----⎛⎫⎡⎤''==-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦即2(,)[()]R a x o x a =-. 因此，22()()()()()()[()]1!2!f a f a f x f a x a x a o x a '''=+-+-+- 一般地，用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).泰勒定理1 若函数)(x f 在点a 有n 阶导数()()n f a ，则函数)(x f 在点a 有展开式()2()()()()()()()()[()]1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a o x a n '''=+-+-++-+-与上面多项式的情形不同，这里多出最后的“余项”[()]n o x a -，称它为皮亚诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数()f x 在点a 带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式.需要指出，习惯上把函数()f x 在点0的泰勒公式()(0)(0)()(0)()1!!n nn f f f x f x x o x n '=++++称为麦克劳林(Maclaurin)公式（*）.特别，根据例33、例34和例35中的高阶导数公式，则有23e 1()2!3!!nxn x x x x o x n =++++++ ，3521121sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n ---=-+-+-+- ，2422cos 1(1)()2!4!(2)!nn n x x x x o x n =-+-+-+ ， 231ln(1)(1)()23nn n x x x x x o x n-+=-+-+-+ . ⑵带拉格朗日余项的泰勒公式 假若函数)(x f 在含点a 的某区间内有一阶导数()f x '，根（*）《微积分学教程》([俄]菲赫金哥尔茨著)中说, 这是没有根据的。

据微分中值定理，当x ∆足够小时，则有()()()(01)f a x f a f a x x θθ'+∆-=+∆∆<<（拉格朗日公式）或()x x a ∆=-()()[()]()(01)f x f a f a x a x a θθ'=++--<<一般情形下，有下面的结论.泰勒定理2 若函数)(x f 在点a 及其近旁有)1(+n 阶导数)()1(x fn +，则在点a 及其近旁有 ()2()()()()()()()()(,)1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R a x n '''=+-+-++-+其中余项(1)1[()](,)()(01)(1)!n n n f a x a R a x x a n θθ+++-=-<<+称为拉格朗日余项，而称上面的展开式为带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式.特别，当0=n 时，泰勒公式()()[()]()(01)f x f a f a x a x a θθ'=++--<<就是拉格朗日公式.证 为书写简单起见，以下记h x a =-，并考虑等式()21()()()()()1!2!!n nn f a f a f a f x f a h h h C h n +'''=+++++ （※）其中C 为待定数(当,,a h n 确定后，它是常数).作辅助函数()21()()()()()()()()()()1!2!!n n n f a f a f a g t f a th f a th th th C th n +'''⎡⎤=+-+++++⎢⎥⎣⎦)10(≤≤t它在区间]1,0[上满足罗尔定理的条件，所以有1t )10(1<<t 使0)(1='t g ；而()211()()()()()(1)1!(1)!n n nn n f a f a g t f a th h f a h th t h C n t h n -+''⎡⎤'''=+-+++++⎢⎥-⎣⎦所以0)0(='g .因此，)(t g '在区间],0[1t 上满足罗尔定理的条件，所以又有2t )0(12t t <<使0)(2=''t g .依次类推，就会有n t )10(11<<<<<-t t t n n 使0)()(=n n t g ，而()()()1()()()(1)!n n n n n n g t f a th h f a h C n th +=+-++⎡⎤⎣⎦且0)0()(=n g .最后，函数)()(t g n 在区间],0[n t 上满足罗尔定理的条件，所以有),0(1n n t t ∈+使0)(1)1(=++n n t g ，即0!)1()()(111)1(1)1(=+-+=++++++n n n n n n h n C h h t a f t g .因此， )10(!)1()(!)1()()1(1)1(<<++=++=+++θθn h a f n h t a f C n n n把它代入式(※)，则得()(1)21()()()()()()1!2!!(1)!n n n n f a f a f a f a h f x f a h h h h n n ++'''+=++++++ θ因为其中h x a =-，所以它就是泰勒公式()2()()()()()()()()(,)1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R a x n '''=+-+-++-+其中余项(1)1[()](,)()(01)(1)!n n n f a x a R a x x a n θθ+++-=-<<+需要指出，习惯上也把函数在点0的泰勒公式nn x n f x f f x f !)0(!1)0()0()()(++'+= +)(x R n称为麦克劳林公式.其中余项=)(x R n (1)1()(01)(1)!n n f x x n θθ++<<+ (拉格朗日余项) 总结：令h x a =-，则()2()()()()()()1!2!!n nn f a f a f a f a h f a h h h o h n '''+=+++++和()(1)21()()()()()()1!2!!(1)!n n n n f a f a f a f a h f a h f a h h h h n n θ++'''++=++++++都称为泰勒公式，但有下面的不同处：第一，前者只假设()f x 在点a 有n 阶导数，并且推广了()()()()f a h f a f a h o h '+=++；后者要假设()f x 在含点a 的某个区间内有(1)n +阶导数，并且推广了拉格朗日公式()()()(01)f a h f a f a h h θθ'+=++<<第二，前者的余项只给出极限形式，不能估计近似公式()2()()()()()1!2!!n nf a f a f a f a h f a h h h n '''+≈++++ （泰勒多项式）的误差，而后者的余项给出的是有限形式，能够用来估计上述近似公式的误差，即()2()()()()()1!2!!n n f a f a f a f a h f a h h h n '''⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦(1)1()(1)!n n f a h h n θ+++=+ 譬如，近似计算函数()f x 在点a 近旁的函数值)(h a f +时，可由给出的精确度ε和h x a =-的变化范围(||)h δ≤，根据上面的估计式，确定多项式的次数n ；或者根据次数n 和h 的变化范围，确定一个近似公式的精确度ε.例37 设()e x f x =. 因为()(e )e (1,2,)x n x n == ，所以()(0)1(0,1,2,)n f n == .因此，函数x e 的麦克劳林公式为21e 1e (01)2!!(1)!n n xxx x x x n n θθ+=+++++<<+由此得近似公式2e 12!!nxx x x n ≈++++问：当1||≤x 时，取多么大的n ，才能使这个近似公式的精确度4101≤ε. 解 当1||≤x 时，1e 3()e (1)!(1)!(1)!n x n x R x n n n θ+=≤≤+++ 经过试算，只要取7=n ，近似公式!7!21e 72x x x x++++≈ (1||≤x ) 的误差不超过4110，因为 487101403203!83!8e e !8)(<=≤≤=x x x R θ例38 函数ln(1)y x =+的n 阶导数为()1(1)!(1)(1,2,)(1)n n nn y n x --=-=+ ，()1(0)(1)(1)!(1,2,)n n y n n -=--= 所以，函数)1ln(x +的麦克劳林公式为)()1(32)1ln(132x R nx x x x x n nn +-+-+-=+- 其中余项的拉格朗日形式为1111)1(11)1()1)(1()1()!1()()(+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+=n n n n n n n n x x n x x n x n x f x R θθθ(01)θ<<取9,1==n x ，则有近似公式9181312112ln +--+-≈ 而误差109111(1)10110R θ⎛⎫=< ⎪+⎝⎭ 习 题1.求)(n y ：其中⑴n n x x a x x a x x a a y )()()(0202010-++-+-+= ； ⑵μ)1(x y +=(μ为常数)； ⑶x a y =； ⑷x y =； ⑸x x y +-=11(提示：112-+=xy )；⑹(1)y x x =-(提示：1y x x =+-)； ⑺232+-=x x y ；⑻x y 2sin =(提示：22cos 1x y -=)； ⑼bxa bxa y -+=ln .答案：⑴n a n !；⑵n x n -++---μμμμμ)1)(1()2)(1( ；⑶n x a a )(ln ；⑷1211111222nn x -⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑸1)1(!)1(2++-n n x n ；⑹)1()1()1(!)1(!n n n x n x n +-+--+-； ⑺(1)(1)!(1)(2)(1)n n n n x x -+-+----⎡⎤⎣⎦；⑻12cos 22n n x -π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； ⑼1222(1)!()(1)()()n n n nn n b a a bx a bx x a b x b --⎛⎫⎡++--⎤< ⎪⎣⎦-⎝⎭. 2.将多项式23()1352P x x x x =++-表示成(1)x +的正整指数幂的多项式.提示：选取1a =-. 答案：23()513(1)22(1)12(1)P x x x x =-+++-+. 3.设()P x 为n 次多项式.证明：a 是()P x 的(1)k k n ≤≤重根的充分必要条件为(1)()()()0k P a P a P a -'====4.求极限2230e e 2e 2e lim (e 1)x x x xx x x x →+-+- 提示：23e 1()2!3!!n xn x x x x o x n =++++++ . 答案：16. 5.求极限 230112lim 1ln 2x x xx x →+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 答案：1112. 提示：首先作恒等变换122ln ln ln 1ln 122212xx x x x x ++⎛⎫⎛⎫==+-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-(2)x < 然后注意23311ln 1()222232x x x x o x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 23311ln 1()222232x x x x o x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6.若函数()f x 在点a 有直到(2)n n ≥阶的导数，且(1)()()()()0,()0n n f a f a f a f a -'''====≠证明：⑴当n 为偶数且()()0n f a <时，()f a 是极大值； ⑵当n 为偶数且()()0n f a >时，()f a 是极小值；⑶当n 为奇数时，a 不是函数()f x 的极值点，而a 是函数()f x 的拐点.【注】函数1e ,0()0,0x x f x x -⎧⎪≠=⎨=⎪⎩在点0x =取到极小值(0)0f =(也是最小值)，而()(0)0(1,2,)n f n == .这说明题中的条件是函数取到极值的充分条件，不是必要条件！7.设函数()f x 在区间[,]a b 上有二阶导数()f x ''，且()()0f a f b ''==.证明：至少存在一点(,)c a b ∈，使24()()()()f c f b f a b a ''≥--提示：取区间[,]a b 的中点()2a b +，根据带拉格朗日余项的泰勒公式，则①2211()()()()222222a b a b f c a b f c b a f f a f a a a ''''+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②2222()()()()222222a b a b f c a b f c a b f f b f b b b ''''+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.设函数)(x f 在区间),0(+∞内有二阶导数)(x f ''.若)2,1,0()(lub )(0=+∞<=+∞<<n x f n x n β证明：20214βββ≤.提示：根据带拉格朗日的泰勒公式，对于任意正数t ，2()()()()(01)2t f x t f x f x t f x t θθ'''+=+++<<从而对任意正数t ，有022()2tf x t ββ'≤+9.设函数)(x f 在区间[0,2]上有二阶导数.证明：若()1,()1(02)f x f x x ''≤≤≤≤则()2(02)f x x '≤≤≤.【注】结论()2(02)f x x '≤≤≤是最好的估计式，因为有例子21()1(02)2f x x x =-≤≤ 说明不能再改进了.10.设函数)(x f 在点a 近旁有)2(+n 阶连续导数，且0)()2(≠+a f n ，而泰勒公式中的拉格朗日余项为(1)1[()](,)()(01)(1)!n n n f a x a R a x x a n θθ+++-=-<<+其中(,,)a n x θθ=.证明：1lim 2x a n θ→=+.提示：因为函数在点近旁有阶连续导数，所以(1)11()(,)()(,)(1)!n n n n f a R a x x a R a x n +++=-++其中(2)2111[()](,)()(01)(2)!n n n f a x a R a x x a n θθ++++-=-<<+11.证明莱布尼茨公式：若函数()u u x =和()v v x =都有n 阶导数，则它们的乘积uv 也有n 阶导数，而且n 阶导数为()()()()C i nn i n i i n i uv u v =-==∑(其中(0)(0)!,,C !()!i nn v v u u i n i ===-)而n 阶微分为()d ()()d C dd i nn n ni n ii ni uv uv x u v =-===⋅∑ (其中00d ,d u u v v ==)提示：根据v u v u v u '+'=')(v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u ''+''+''=''+''+''+''=''+'=''2)()()()( v u v u v u v u v u v u v u v u '''+'''+'''+'''='''+''+''='''33)2()( 我们看出，右端各项的系数就是牛顿二项式公式302203333)(b a ab b a b a b a +++=+中各项的系数。