)

sin(x

3


2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)

sin(x

n
2
)
类似可证:(cos
x)(n)

cos(x

n
2
)
例4 设 y ln(1 x), 求 y(n).
解 y 1 1 x
y 1 (1 x)2
y

2! (1 x)3
y(4)


3! (1 x)4
y ( y)
或
d2 y dx2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
二、常用的高阶微分方法
1. 直接法 求高阶导数就是多次接连地求导数.
例1 设 y ax b, 求 y.
解：y a, y 0
由高阶导数
f
(n)
( x)

dn y d xn
以及一阶微分
形式不变性 , 我们自然会想到高阶微分是否也
具有这种不变性？
看一下二阶微分的情形：
设函数 y = f (x), x = (t) 都具有相应的可微
性, 且可构成复合函数 y = f ( (t)) , 则
d2 y d(d y) d( f (x)(t)dt)
v(k) 0 (k 3 , , 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y ( 20)

220 e2x
x2

20 219 e2x 2x

20 19 2!
218 e2x 2
四. 高阶微分
设函数 y = f (x) 二阶可导, 当 x 为自变量时, 其二阶微分为
d2 y d(d y) d( f (x)d x) d( f (x))d x f (x)d x2
提示： 利用莱布尼兹公式 f (n) (0) (1)n3 n(n 1)(n 3)! (1)n1n! n2
1 dx
b csc2 t 1 a a sin t


a2

b sin3
t
dt
(t 0, π, 2π).
内容小结
1. 复习基本求导法则与导数公式
2. 高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
1
ax
(n)

(1)n
(a
n! x)n1
由此看出, 当 x 为自变量时,
f
(
x)

d2 y d x2
类似可定义 n 阶微分: dn y d(dn1 y) d( f (n1) (x)d xn1) f (n) (x)d xn
且有
f
(n)
( x)

dn y d xn
注意 d xn , d( xn )和d n x表达的意义不同.
解： dy yt (bsin t) b cost b cot t dx xt (a cost) a(sin t) a (t 0, π, 2π)
d2 y dx2

d dy dx dx

Байду номын сангаас
d dt


b a
cot
t


dt dx

b a
csc2 t
例2 求 y ex 的n 阶导数.
解： y ex, y ex, L y(n) ex.
2. 数学归纳法证明高阶导数
例3 设
求
解:
y
cos x
sin(x


2
)
y

cos( x


2
)

sin(x


2


2
)

sin(
x

2


2
)
y

cos( x

2


2
五、参数方程高阶微分法
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0 时, 有
dy dy dt dx d t dx

dy 1 d t dx
(t) (t )
(t) 0 时, 有
dt
dx dy
dx d t
dt dy

dx dt

1 (n)
ax
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
思考与练习
1. 求 y 1 x 的 n 阶导数?
1 x
解:
y(n)

2 (1)n
n! (1 x)n1
2. 求函数f (x) x2 ln(1 x)在x＝0处的n阶导数
f (n) (0) (n 3).
(t)(t) (t)(t)

2 (t)
(t )


(t
)
(t) (t 3 (t )
)
(t
)
例7
由椭圆的参数方程

x y

a b
cos t, sin t,
所确定的函数
y y(x) 的二阶导数，其中 t [0, 2π] ．

(x
1 1)n1

三、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
n(n 1) (n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
例6
求
解: 设 u e2x , v x2, 则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 , , 20 ) v 2x , v 2 ,
第四章 微商与微分
第四节 高阶微商与高阶微分 一、高阶微商的定义 二、常用的高阶微商方法 三、高阶微商的运算法则
一、高阶微商的定义
引例：变速直线运动 速度
即 v s
加速度
即
a (s)
定义 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导, 则称
的导数为 f (x) 的二阶导数（微商), 记作

y(n)

(1)n1
(n 1)! (1 x)n
(n 1, 0! 1)
思考：函数 y 1 的n阶导数？ 1 x
3. 常用（已知）公式求高阶导数
例5
y

x2

1 3x

2
求
提示: y 1 1 x 2 x 1
y(n)

(1)n
n!


(
x
1 2)n1
dt t
[( f (x)2(t) f (x)(t))dt]dt
f (x)d x2 f (x)d2x
其中, d2 x (t)dt2 ,
d x2 ((t)dt)2 2(t)dt2
就是说, 二阶微分不具备微分形式不变性. 高阶微分不具备微分形式不变性.

1 dy
(t) (t)
dt
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中
二阶可导, 且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
x (t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2

d (dy) dx dx
d (dy) d t dx
dx dt