试卷代号： 7032上海开放大学 2017 至 2018 学年第一学期《高等数学基础》期末复习题一．选择题1．函数 f ( x)sin(x 2 4) x2在 x 2 连续，则常数 k 的值为（）。
x 2kx 2A ． 1；B ． 2 ；C ． 4；D ． 42．下列函数中（）的图像关于 y 轴对称。
A ． x cos ．31xx3．下列函数中（）不是奇函数。
1A ． sin( x 1) ；B ． e x e x ；C ． sin 2x cosx ；D ． ln x x 2 14．当 x0 时，（）是无穷小量。
A ．sin 2xB ． (1 1) xcos 1． x sin 1x xx x 5．函数 f ( x)f ( x) （）。
sin 4x ，则 lim xx 0A ． 0 ；B ． 4；C ． 1；D ．不存在 4 f (x)f (2)6．函数 f ( x) ln x ，则 lim （）。
x 2 x 2A ． ln 2 ；B ． 1； C ． 1；D ．2x27. 设 f ( x) 在点 x x 0 可微，且 f (x 0 ) 0 ，则下列结论成立的是（）。
A ．x x 0 是 f ( x) 的极小值点 ． x x 0 是 f ( x) 的极大值点；BC ． x x 0 是 f ( x) 的驻点； ． x x 0 是 f (x) 的最大值点；D8．下列等式中，成立的是（）。
A ．1dxd． e 2 xdx2de 2 xxx BC ． e 3 x dx1 de 3 x ． 1dxd ln 3x3 D 3x9．当函数 f ( x) 不恒为 0， a, b 为常数时，下列等式不成立的是（）( f ( x) dx) f ( x) .d bf ( x) dx f ( x) dxaf ( x)dx f ( x) c .a bd f ( x) f ( b) f (a)10．曲线y e x x 在 (0,) 内是（）。
A．下降且凹； B．上升且凹； C．下降且凸； D．上升且凸11．曲线 y 1 x3 2 x23x 在区间 2,3内是（）。
3A．下降且凹 B．上升且凹 C．下降且凸 D．上升且凸12．下列无穷积分为收敛的是（）。
A.sin xdxB.0e2 x dxC.0 1 e x dxD.11 dx02x 13．下列无穷积分为收敛的是（）。
x2dx 1dx x 2dx xA. B.1C. D.1e2 dx1x1 14．下列广义积分中（）发散。
1113A．x 2 dx ；B．dx ；C．dx ；D．x 2 dx 11x31x2115．设函数 f ( x) 的原函数为 F (x) ，则11（）。
x2 f (x )dxA． F ( x)C；B．1；．1；．1F ( ) C C F ( ) C D f ( ) Cx x x 16．下列广义积分中收敛的是（）x 3 dx2x3 dx cosxdx1xdx 二．填空题1111．函数f ( x)ln( x 3)的定义域是。
4x2．函数y x 1的定义域是。
x33．函数 y5x 的定义域是。
ln( x1)4．曲线y e 2 x在点M处的切线斜率为2e 2，则点M处的坐标为。
5．曲线y ln x 在x 2 处的切线方程为。
6．设函数y f (cos 2x) 可导，则dy。
7. 设 f ( x) x 21，则 f ( f ( x)) 。
8. 设 f ( x) 的一个原函数是 sin 2x ，则 f ( x) 。
9．已知 F ( x)f ( x) ，则xf (x 2 1)dx 。
1 x( x1x 2 )dx 。
10．11x 3 (cosx 1)dx11． 。
112．dt cost 2dt =。
dx x13．设 F ( x)xe sin tdt ，则 F ( )。
0214．设 F ( x) 为 f (x) 的原函数，那么 f (cos x)sin xdx 。
15．设 F ( x)xe (t 1) 2dt ，那么 F (1) 。
三．计算题1 2x4 x 11、求极限 lim 4x 12、求极限 lim 2x 1 x 4x 1x2 x 33x 4xsin 3x 3、求极限 lim4、求极限 lim3x 21 4x 1xx 05、求极限 lim x ln(1 3x 2 )6、求极限 lim ln(12x)x 01 3x 31 x 01 4x 17、设函数 y x cosx2 x ，求 dy。
、设函数 yx cos(3x 1) ，求dye89、设函数y x 2ln 2xx ，求 dy 。
、设函数y 3x 1 ，求 dy 。
10 cos2x11、设函数 y 2xe 2 x，求 dy 。
1 3 x ，求 dy 。
12、设函数 yx 2e113、设函数 y1 sin2x ，求 dy 。
14、计算不定积分 x 2sin xdxcosx215、计算不定积分x2cos xdx 16、计算不定积分x 2e 3 x dx3四、应用题1、求由抛物线 y 2 x 2 与直线 y x 所围的面积。
2、求由抛物线 yx 2与直线 y2 x所围的面积。
-3、求由抛物线y x2x 与直线 y x 所围的面积。
y4、求由抛物线x 22 与直线y x 所围的面积。
y xyyy x 2x4xy x32x- 15、求由抛物线y x2与直线 y 6x 所围的面积。
y x22126、要做一个有底无盖的圆柱体容器, 已知容器的容积为立方米 , 试问如何选取底半径和高4的尺寸 , 才能使所用材料最省。
7、要做一个有底无盖的圆柱体容器, 已知容器的容积为16 立方米 , 底面单位面积的造价为10 元/ 平方米，侧面单位面积的造价为 20 元/ 平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸, 才能使建造费用最省。
8、在半径为 8 的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。
9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为 108 立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才能使建造费用最省。
试卷代号： 7032上海开放大学2017 至 2018 学年第一学期《高等数学基础》期末复习题答案一．选择题1．D2．C3．A4．D5．．C9．B10．B11． A12．B13．C14．A15．B16． A二．填空题1． 3 x 4 2．x1且 x 33．1x 5且 x 04．1,e2 5．y ln 21 2 6．2sin 2xf (cos2x) dx1224x2 14sin 2x F ( x21)C0xcos x2 e 1 F (cos x) C 三．计算题231、求极限 lim1 2x 4x1x4x 1解： lim 4x12 x 1 2 x 1 2 x 1lim4x 12lim 12＝ ex4x1x4x1x4x12、求极限 lim4 x 12x 1x2x 3解： lim2x4 x 14 x 14 x 11lim2x3 4lim 14＝ e 8x2x3x2x3x2x34x3x3、求极限 limx3x 23x 4x24x8解： limlim 1e33x23x 2xxsin 3x 4、求极限 limx1 4x 1解： limsin 3x 3x 31 4x 1lim2x 0x 02x5、求极限 limx ln(1 3x 2 )x1 3x 3 1解： lim x ln(1 3x 2 ) limx3x 221 3x 3 13x 3 x 0x 026、求极限 limln(1 2x)x 01 4x 1解： lim ln(1 2 x)lim 2x1x 01 4x1 x 0 2x7、设函数 yxe cosx2 x ，求 dy 。
xe cos x3解： y2x 28、设函数 y x cos(3x 1) ，求 dy 。
9、设函数 yx 2 ln 2xx ，求 dy 。
x 2 ln 2x 5解： yx 210、设函数 y3x 1，求 dy 。
cos2x3x 1 cos2x3x 1 cos2 x3cos 2x 2 3x 1 sin 2x解： y22cos2 xcos2x11、设函数 y2x ，求 dy 。
1 e 3 x12、设函数 ye 2x ，求 dy 。
1 2x13、设函数 ysin2x ，求 dy 。
1 cosxsin 2x 1 cosx sin 2x1 cos x解： y1 2cosx14、计算不定积分 x 2sin xdx2 解 : x 2 2x 20+—+x 2sin xdx ＝ 2x 2cosx8 x sinx16cosxC222215、计算不定积分 x 2cos xdx3 解 : x 2 2x 20+—+16、计算不定积分 x 2 e 3x dx解： x 2 2x20+—+四、 应用题1、求由抛物线 y 2x 2 与直线 yx 所围的面积。
解：由y 2x 2x 11,x 22yx2、解：抛物线 yx 2 与直线 y2 x 的交点为 ( 2,4),(1,1)面积 A1x x 2dx223、求由抛物线 yx 2x 与直线 y x 所围的面积。
yy 2 x 2xy x解：由 y x 2x x 1 0, x 2 2y x所围的面积 S22 x 2)dx( x (x 2x)) dx(2 x4、解：抛物线 yx 2 2 与直线 y x 的交点为 ( 1, 1),(2,2)面积 A2 (x22) dxx15、解：解：抛物线 y x 2 与直线 y6 x 的交点为 ( 3,9),(2,4)面积 A 6 x x 2 dx 1252366、要做一个有底无盖的圆柱体容器 , 已知容器的容积为 4 立方米 , 试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才能使所用材料最省。
解：设圆柱体底半径为 r ，高为 h ，则体积 Vr 2h4h4 r2材料最省即表面积最小表面积 S ＝ r 22 rh ＝ r 22 r4 ＝ r 2 8r 2rS ' ＝ 2 r 8r34r 2 ，令 S ' ＝ 0，得唯一驻点所以当底半径为34米，此时高为 34 米时表面积最小即材料最省。
7、要做一个有底无盖的圆柱体容器 , 已知容器的容积为 16 立方米 , 底面单位面积的造价为 10 元/ 平方米，侧面单位面积的造价为 20 元/ 平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才 能使建造费用最省。
解：设圆柱体底半径为 r ，高为 h ，则体积 Vr 2h 16h 16r2且造价函数 f10 r 220 2 rh10 r 2640r 令 f20 r 6400 ，得唯一驻点 r 2 34r 2所以当底半径为234米，此时高为 34米时造价最低。
8、在半径为 8 的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。