(完整)上海交通大学2005年数学分析考研试题
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上海交通大学2005年数学分析考研试题
一、 设函数)(x f 定义在R 上,满足R x ∈∀，有2
)1()(2x x f x f -=-+,试求)(x f 的表达式； 二、 设}{n x 是收敛数列，}sup{},inf{n n x x ==βα,证明βα,中至少有一个属于}{n x 。

三、 设a>0,c 〉0，数列}{n a 定义如下： 2,1),(),(211211=+=+=+n a a a a n a c n n a c ，证明数列}{n a 收敛，并求其极限；
四、 设.0)0(,0,sin )(01=≠=⎰f x dt x f x
t ，试求)0('f ；
五、 设)(x f 在),1[+∞上可导,1)1(=f ,且满足)(1)('22x f x x f +=
，试证:A x f x =+∞→)(lim 存在，且41π
+<A ；
六、 设⎰==1
02,1,)()( n dx nx x f a n ϕ,其中)(x f 为［0,1］上的连续可微函数，)(x ϕ为连续的周期
函数,周期为1，且⎰=1
00)(dx x ϕ,试证明:
1))(x ϕ的任意一个原函数亦必为周期等于1的周期函数；
2)∑∞
=12n n a 级数收敛; 七、计算曲面积分⎰⎰++++=S z y x zdxdy
ydzdx xdydz I 23
)(222,其中S 为椭球面1222222=++c
z b y a x 的外侧; 八、叙述并证明复分析中的最大模定理;
九、设)(x f 是定义在],[b a I =上的有界函数，)(x ω是)(x f 的振幅（函数），定义如下:
|)(lim )(lim |)(t f t f x x t x t -
+→→-=ω， 1） 试证
⎰⎰⎰-=b
a b a I dx x f dx x f dx x )()()(ω 其中)(x ω在I 上的Lebesgue 积分，右端分别试Darboux 上下积分；
2） 试证明)(x f 在I 上Riemann 可积的充要条件是其不连续点的集合为零测度集.。