(完整)上海交通大学2003年数学分析考研试题
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上海交通大学2003年数学分析考研试题
一 判断以下各题，正确的给出证明,错误的举反例并说明理由。

（每小题6分，共24分）
1． 若()x f 在R 上有定义，且在所有无理点处连续，则()x f 在R 上处处连续。

2． 若()x f ，()x g 连续，则()()()()x g x f x ,m in =ϕ连续。

3． 任意两个周期函数之和仍为周期函数。

4． 若函数()y x f ,在区域D 内关于x ，y 的偏导数均存在，则()y x f ,在D 内必连续。

二（12分)设()x f 在[]b a ,上无界，试证对任意0 δ，在[]b a ,上至少有一点x ，使得()x f 在0x 的
δ邻域上无界。

三(12分)设()x f 对任意R x ∈有()()2x f x f =且()x f 在0=x 和1=x 处连续。

试证明()x f 在R 上为常数。

四（12分）已知0,...,,21 n a a a ，()2≥n 且()x
x n
x x
n a a a x f 12
1
...⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+++=，试求()n n x a a a x f ...lim 210=→ 五（12分）若实系数多项式()n n n n n a x a x a x a x P +++=--1110,00≠a 的一切根均为实数。

试证明导函数()x P n '也仅有实根。

六（12分）设{}n na 收敛，级数()∑∞
=--2
1n n n a a n 收敛。

试证级数∑∞
=1
n n a 收敛。

七（12分)设()x y ϕ=，0≥x 是严格单调增加的连续函数,()00=ϕ是它的反函数.试证明对
0,0 b a 有()()ab dy y dx x b
a
≥+⎰⎰0
ψϕ
八 计算题（每小题12分，共24分）
1． 求函数()4
4
4
,,z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值。

2． 计算积分()dz arctgzdxdy z y I V
⎰⎰⎰
-=
，其中V 为由曲面()222
2
1R z y x =-+，0=z 和h z =所围成的区域。

九(10分）设()x g 在[)+∞,a 上一致连续，且对任意的a x ≥有()A n x g n =++∞
→lim ，是试证()A x g x =+∞
→lim
十（10分）试证：()x x x +⎪⎭⎫
⎝
⎛+1111ln 2
十一（10分）设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导，且()x f 是非线性函数。

试证存在()b a ,∈ξ，使得()()()a
b a f b f f --'
ξ。