函数、极限、连续概念解析
1、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等。

A. x x g x x f ==)(,)()(2
B. 1)(,11)(2+=--=x x g x x x f
C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2==
D. 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f
分析：从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。

正确答案：D
2、下列结论中正确的是（ ）。

A. 周期函数都是有界函数
B. 基本初等函数都是单调函数
C. 奇函数的图形关于坐标原点对称
D. 偶函数的图形关于坐标原点对称
分析：首先要清楚函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性的定义，还要知道奇偶函数的图形特点。

正确答案：C
3、周期函数是否一定有最小正周期？
答：不一定有最小正周期．尽管我们所学的周期函数函数一般都有最小正周期，但周期函数不一定有最小正周期．例如常值函数()f x C =是一个以任意正数为周期的周期函数，它没有最小正周期。

4、判断下列数列的极限：（1）(1)n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，
（2）1n e ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩
⎭。

分析：本题只要求对数列的极限作出判断，根据数列极限的定义，利用观察法，看在n →∞的过程中数列通项n x 的变化趋势。

解：（1）因为n →∞时虽然(1)n n x n -=的符号时正时负，但(1)10n n n
-=→，
所以数列(1)n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的极限为0。

（2）因为数列的通项11n
n n x e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当n →∞时分母n e →∞，所以10n e →，故该数列的极限是0。

5、无界数列必发散吗？
分析：已知性质：收敛数列必有界．用反证法。

正确答案：无界数列必发散。

6、发散数列一定无界吗？有界数列必收敛吗？
分析：发散数列除了lim n n x →∞
=∞的情况外，还有其它情况。

例如：数列(1)n
n x =-发散，但有界。

正确答案：发散数列不一定无界，有界数列也不一定收敛。

7、无穷小量是很小的数，对吗？零是无穷小量吗？
分析：无穷小量是指趋于零的变量。

正确答案：无穷小量不是很小的数，但零是无穷小量。

8、连续函数的三个要求缺一不可吗？
分析：连续函数的三个要求为：①()f x 在0x 点有定义；②0lim ()x x f x →存在；③00lim ()()x x f x f x →=。

三者如缺一，则为间断（不连续）。

例如：①1()sin f x x =在0x =点无定义，故间断；②1sin ,0()1,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
在0x =点虽然有定义，01limsin x x →不存在，故也间断；③1sin ,0()1,
0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =点虽然有定义，且01lim sin 0x x x →=，但01lim sin 01(0)x x f x
→=≠=，故间断。

正确答案：连续函数的三个要求缺一不可。

9、可去间断点有何特点？
分析：如果0
lim ()x x f x A →=存在，但()f x 在0x 点没有有定义，或有定义而00lim ()()x x f x f x →≠，则称0x 为()f x 的可去间断点。

正确答案：重新定义0()f x A =，就可使函数()f x 在0x 连续。