二元一次方程组一、考点讲解：1．二元一次方程:含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程组:含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解． 4．二元一次方程组的解法．(1)代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元"，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法． （2）加减消无法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 5、方程关于解的个数1.一元一次方程ax b =的解由a b 、的值决定: ⑴若0a ≠,则方程ax b =有唯一解b x a=;⑵若0a b ==，方程变形为00x ⋅=,则方程ax b =有无数多个解; ⑶若0,0a b =≠,方程变为0x b ⋅=，则方程无解.2。

关于x y 、的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的讨论可以按以下规律进行：⑴若1122ab ab ≠，则方程组有唯一解；⑵若111222ab c a b c ==，则方程组有无数多个解； ⑶若111222ab c ab c ≠=,则方程组无解。

经典实例例1、解下列方程组:⑴41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩⑵()()41312223x y y x y--=--⎧⎪⎨+=⎪⎩⑶2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩例2。

解下列方程组：⑴()()9185232032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩⑵7231x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩⑶199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩⑷323231112x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩⑸23427x y y z z xx y z +++⎧==⎪⎨⎪++=⎩例3。

如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解，则a c 与的关系是()A 。

49a c += B. 29a c +=C.49a c -= D 。

29a c -=例4。

关于x y 、的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值是。

例5。

若已知方程()()()221153ax a x a y a -+++-=+，则当a =时，方程为一元一次方程; 当a = 时,方程为二元一次方程.例6。

已知方程组 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩；乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩，若按正确的a b 、计算，求原方程组的解.a 515 42x y x by +=⎧⎨-=-⎩① ②例7。

若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222222522310x y z x y z +---的值.例8。

求二元一次方程3220x y +=的:⑴所有正整数解；⑵一组分数解；⑶一组负数解。

例9。

已知关于x y 、的方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x y 、都是整数，m是正整数,求m 的值。

强化训练 一、选择题:1. 若92x y =⎧⎨=⎩是方程组473x y a bx y a b -=+⎧⎨-=-⎩解， 则a b 、的值是( ） A 。

81214a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ B.317a b =⎧⎨=-⎩C.47232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D.519a b =⎧⎨=-⎩2。

如果方程组()43713x y kx k y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解x y 、的值相等,则k 的值是()A 。

1 B.0 C 。

2 D 。

2-3。

如果()25x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = .4. 若23x y =-⎧⎨=⎩是方程33x y m -=和5x y n +=的公共解，则23m n -= .5。

已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解,则()()a b a b +-的值是 .三、解下列方程组:⑴()1232111x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩⑵361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩四、已知关于x y 、的方程组2647x ay x y -=⎧⎨+=⎩有整数解,即x y 、都是整数，a 是正整数, 求a 的值.五、35303580x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩（0z ≠)，则:x z = ，:y z = ;六、已知关于x y 、的方程组()312y kx by k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩分别求出k ，b 为何值时,方程组的解为：⑴ 唯一解； ⑵有无数多个解； ⑶无解?总结：一、已知方程123+=+myx12-=+myx当m为何值时，yx>。

解此题的关键是求出方程组的解，根据给出的条件计算m的取值。

针对本题的拓展有：1、改变二元一次方程组：例如已知方程组523+=+myx1-=+myx当m _________ 时，yx>。

已知方程组22+=+myx1-=-myx当m _________ 时，yx>。

2、改变假定条件：例如已知方程组123+=+myx12-=+myx当m _________ 时，yx<。

已知方程组123+=+myx12-=+myx当m _________ 时，2=+yx。

已知方程组123+=+myx12-=+myx当m _________ 时，32-=+yx。

3、改变题型：1、解析题；2、填空；3、选择；三、若方程32=-y xk y x 39-=+的解是一对相同的数，则k 的值为________ .本题主要考查对方程组的解的理解。

解题思路：（1）先解方程组，代入条件得到关于k 的一元一次方程。

（2）利用条件组成三元一次方程组。

本题的拓展：若方程组323=-y xk y x 396-=+的解是一对相同的数，则k 的值为________ .若方程组32=-y xk y x 39-=+的解是互为相反数，则k 的值为________ .若方程组32=-y xk y x 39-=+的解满足23=-y x ，则k 的值为________ .二、若0312112<+-m y 是关于y 的一元一次不等式，则=m _________，此不等式的解集为_________. 本题考查的是对一元一次不等式的概念理解：一个未知数;未知数的指数为 1 .可以变形为: 若0312123<+-m y 是关于y 的一元一次不等式，则=m _________，此不等式的解集为_________.若031223<+-m y a 是关于y 的一元一次不等式，则=m _________，此不等式的解集为_________.若()01212<-+-m ym 是关于y 的一元一次不等式，则=m _________，此不等式的解集为_________。

若45152<+-m y 是关于y 的一元一次不等式，则=m _________,此不等式的解集为_________。

四、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文。

已知某种加密规则为：明文 a ，b 对应的密文为 b a b a +-,。

例如：明文1 ，２对应的密文是 -1 ，3。

当接收方收到密文是 4 ，2时，解密得到的明文是 ____________ 。

解本题的关键是：分析理解加密规则，加密和解密是一个互逆的运算，我们可以得到一个二元一次方程组。

本题拓展：1、改变规则：为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文。

已知某种加密规则为：明文 a ，b 对应的密文为 b a b a 2,2-+。

例如：明文1 ，２对应的密文是 4 ，-3。

当接收方收到密文是 4 ，2时，解密得到的明文是 ____________ 。

2、直接利用规则：为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文。

已知某种加密规则为：明文 a ，b 对应的密文为 b a b a 2,2-+。

例如：明文3 ，5对应的密文是 ______________ 。

五、方程()()011=-++y m x m ，当m __________ 时，它是二元一次方程；当m __________ 时，它是一元一次方程。

本题考查二元一次方程和一元一次方程的概念，关键看系数的变化。

本题拓展：方程()()032=-++y a x a ，当a ______________ 时，它是二元一次方程； 当a ________________ 时，它是一元一次方程。

方程032221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+y a x a ，当a ______________ 时，它是二元一次方程；当a ________________ 时，它是一元一次方程。

方程()()0322=-++y a x a ，当a ______________ 时，它是二元一次方程；当a ________________ 时，它是一元一次方程。

六、已知1=x2-=y2=x=y都是方程1=-byax的解，则=a______ , =b_______本题考查二元一次方程的解的概念，把解代入原方程可得到关于a，b的二元一次方程组，解得。

本题拓展：1：改变字母或数字已知3=x2-=y2=x1=y都是方程1=-byax的解，则=a______ , =b_______已知3=x2-=y2=x1=y都是方程5=-nymx的解，则=m______ , =n_______2：改变要求已知1=x2-=y2=x=y都是方程1=-byax的解，则=+ba323：改变条件已知关于yx,的方程组7=+aybx的解是2=x1=y求=+ba3=+byax若方程组13+=+kyx33=+yx的解为yx,，且42<<k则yx-的取值范围是__________若方程组652-=+yx4-=-byax与方程组有相同的解则=a___ , =b____1653=-yx8-=+aybx甲、乙两人同时解方程组3=+yax12=+byx甲看错了b，求得的解为1=x1-=y乙看错了a，求得的解为1-=x3=y你能求出原方程组的解吗？（写出过程）4：联系不等式以方程组2+-=x y1-=x y的解为坐标的点()y x ,在直角坐标系中的第 _______ 象限。