当前位置:文档之家› 数列经典讲义教师版

数列经典讲义教师版

数列和数列的练习一、数列及其相关概念1. 数列:按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,它可以有限,也可以无限.2.数列的项及通项:数列中的每个数叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(首项),第2项,…,第n 项. 数列的一般形式可以写成:123n a a a a ,,,,,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项,又称为数列的通项. 3.数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示,则称这个公式为这个数列的通项公式. 4.数列的分类数列的分类方式一般有三种:(1)项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称为无穷数列;(2)从第2项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列;从第2项起,每一项都比它的前一项小的数列称为递减数列;这两种数列统称为单调数列.各项都相等的数列称为常数列;既不是单调数列,又不是常数列的,称为摆动数列,即有些项小于它的前一项,有些项大于它的前一项;(3)如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数,则称此数列为有界数列,否则称为无界数列. 5.数列的表示方法数列是定义域为正整数集(或它的一个有限子集{123}n ,,,,)的一类特殊的函数()f n ,数列的通项公式也就是函数的解析式.数列的表示方法通常有三种:(1)通项公式法(对应函数的解析式法);(2)图象法(无限多个或有限多个孤立的点,取决于是无穷数列,还是有穷数列); (3)列表法.6.数列和函数、集合的区别(1)数列和函数:数列是以正整数集*N (或它的有限子集){}1234n ,,,,,为定义域的函数()n a f n =. (2)数列和集合的区别和联系:集合是没有顺序的,数列是有顺序的7.数列的递推公式如果已知数列的第一项,且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫这个数列的递推公式.例如,1112(2)n n a a a n -==-,≥.给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列,所以递推公式也是给出数列的一种方法,即递推法. 8 数列的前n 项和数列{}n a 的前n 项和定义为:123n n S a a a a =++++.数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ,且11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥.一、数列的基本概念1. (2010年东城一模7) 已知数列{}n a 的通项公式3log ()1n na n n =∈+*N ,设其前n 项和为n S ,则使4n S <- 成立的最小自然数n 等于( )A .83B .82C .81D .802. (2011年海淀二模5)已知正项数列{}n a 中,11=a ,22=a ,222112(2)n n n a a a n +-=+≥,则6a 等于( )A.16 B.8 C.22 D.43. 数列{}n a 满足1111(2)3n n a a n n N a +-==-≥∈,,,则2008a 等于( )A .13B .3C . 13- D .-34. (2011年东城区期末理11)在数列{}n a 中,若12a =,且对任意的正整数,p q 都有q p q p a a a =+,则8a 的值为 .5. (2010年东城二模6)已知函数6(3)3,7(),7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩,若数列{}n a 满足*()()n a f n n =∈N ,且{}n a 是递增数列,则实数a 的取值范围是 ( )A .9[3)4,B .9(3)4,C .(2,3)D .(1,3)6. 已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数,对于任意的x y ∈R ,,都有()()()f x y xf y yf x ⋅=+成立.数列{}n a 满足(2)n n a f =()n ∈*N ,且12a =.则数列的通项公式n a =__________________ .二、数列的递推公式7. (2006年重庆12)在数列{}n a 中,若11123(1)n n a a a n +==+≥,,则该数列的通项n a =8. 数列{}n a 中,11a =,对所有的2n ≥,都有2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=,求数列{}n a 的通项公式n a .9. 若数列{}n a 中,13a =,且2+1n n a a =(n 是正整数),则数列的通项公式时n a =10. 已知数列{}n a ,满足112311+2+3+1)(2)n n a a a a a n a n -==-≥,(,则{}n a 的通项 11)(2)n n a n =⎧=⎨≥⎩(11. 求满足下列条件的数列{}n a 的通项公式(1)已知{}n a 满足+11211+412n n a a a n ==-,,求n a (2)已知{}n a 满足+13n n n a a =,且13a =,求n a二、n a 与n S 的关系12. (2011年四川9)数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1113(1)n n a a S n -==≥,,则6a =( )A .3 ×44B .3 ×44+1C .44D .44+113. 设数列{}n a 的前n 项和为111,1(1)3n n n S a a S n +==≥,,则n a =______14. 已知下列个数列{}n a 的前n 项和n S 的公式,求{}n a 的通项公式 (1)=n n S n (-1);(2)=32n n S -;(3)21=(2)1n n S n a n a ≥=,15. 已知下列个数列{}n a 的前n 项和n S 的公式,求{}n a 的通项公式 (1)2=231n S n n --(2)2=10n S n n -等差数列二、等差数列1.等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第..2.项起..,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数..,那么这个数列就叫等差数列....,这个常数叫做等差数列的公差..,公差通常用字母d 表示. 用递推公式表示为a n - a n - 1 = d (n ≥ 2)或a n + 1 - a n = d (n ∈ N *). 2.等差数列的通项公式:a n = a 1 + (n - 1)d = a m + (n - m )d . 3.等差中项的概念:定义:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.....其中2a bA +=. 说明:a ,A ,b 成等差数列 ⇔ 2a bA +=. 4.等差数列的前n 和公式:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+.5.等差数列的性质:(1) 在等差数列{a n }中,从第2项起,每一项是它相邻两项的等差中项. (2) 在等差数列{a n }中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列. 如:a 1,a 3,a 5,a 7,…;a 3,a 8,a 13,a 18,….(3) 在等差数列{a n }中,对任意m ,n ∈ N *,a n = a m + (n - m )d ,n ma a d n m-=-(n ≠ m ). (4) 在等差数列{a n }中,若m + n = s + t (m ,n ,s ,t ∈ N *),则a m + a n = a s + a t . (5) 等差数列{a n }中,公差为d ,若d > 0,则{a n }是递增数列;若d = 0,则{a n }是常数列;若d < 0,则{a n }是递减数列. 6.数列最值:(1) a 1 > 0,d < 0时,S n 有最大值;a 1 < 0,d > 0时,S n 有最小值. (2) S n 最值的求法:① 若已知S n ,可用二次函数最值的求法(n ∈ N *); ② 若已知a n ,则S n 取最值时n 的值(n ∈ N *)可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩.1. (1) 求等差数列8,5,2,…的第20项;(2) - 401是不是等差数列- 5,- 9,- 13,…的项?如果是,是第几项? 解:(1) 由a 1 = 8,d = 5 - 8 = - 3,n = 20,得a 20 = 8 + (20 - 1) ⨯ (- 3) = - 49. (2) 由a 1 = - 5,d = - 9 - (- 5) = - 4,得数列通项公式为:a n = - 5 - 4(n - 1),由题意可知,本题是要回答是否存在正整数n ,使得- 401 = - 5 - 4(n - 1)成立,解之得n = 100,即- 401是这个数列的第100项.2. (2011湖南理12)设S n 是等差数列{a n }(n ∈ N *),的前n 项和,且a 1 =1,a 4 = 7,则S 5 = .【答案】25【解析】由a 1 =1,a 4 = 7可得a 1 =1,d = 2,a 5 = 9,所以5(19)5252S +⨯==.3. (2012辽宁理6)在等差数列{a n }中,已知a 4 + a 8 = 16,则该数列前11项和S 11 = ( B )A .58B .88C .143D .176 【解析】在等差数列中,∵a 1 + a 11 = a 4 + a 8 = 16,∴1111111()882a a S ⨯+==,答案为B .4. (2012江西理12) 设数列{a n },{b n }都是等差数列,若a 1 + b 1 = 7,a 3 + b 3 = 21,则a 5 + b 5 = .【答案】35【考点】本题考查等差数列的概念和运算.考查等差中项的性质及整体代换的数学思想. 【解析】(解法一)因为数列{a n },{b n }都是等差数列,所以数列{a n + b n }也是等差数列.故由等差中项的性质,得(a 5 + b 5) + (a 1 + b 1) = 2(a 3 + b 3),即(a 5 + b 5) + 7 = 2 ⨯ 21,解得a 5 + b 5 = 35. (解法二)设数列{a n },{b n }的公差分别为d 1,d 2,因为a 3 + b 3 = (a 1 + 2d 1) + (b 1 + 2d 2) = (a 1 + b 1) + 2(d 1 + d 2) = 7 + 2(d 1 + d 2) = 21, 所以d 1 + d 2 = 7.所以a 5 + b 5 = (a 3 + b 3) + 2(d 1 + d 2) = 35.5. 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ,若a 2 + a 4 + a 15的值是一个确定的常数,则数列{S n }中也为常数的项是( C )A .S 7B .S 8C .S 13D .S 15【解析】设a 2 + a 4 + a 15 = p (常数),∴3a 1 + 18d = p ,即a 7 =31p .∴S 13 =2)(13131a a +⨯= 13a 7 =313p .6. (2012浙江理7)设S n 是公差为d (d ≠ 0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和,则下列命题错误的是( C )A.若d < 0,则数列{S n}有最大项B.若数列{S n}有最大项,则d < 0C.若数列{S n}是递增数列,则对任意n∈N*,均有S n > 0D.若对任意n∈N*,均有S n > 0,则数列{S n}是递增数列【解析】选项C显然是错的,举出反例:- 1,1,3,5,7,….满足数列{S n}是递增数列,但是S n > 0不恒成立.故选C.7.把正整数按下列方法分组:(1),(2,3),(4,5,6),…,其中每组都比它的前一组多一个数,设S n表示第n组中所有各数的和,那么S21等于( B )A.1113 B.4641 C.5082 D.53361【分析】第21组共有21个数,构成一个等差数列,公差为1,首项比第20组的最后一个数大1,所以先求前20组一共有多少个数.解:因为第n组有n个数,所以前20组一共有1 + 2 + 3 + … + 20 = 210个数,于是第21组的第一个数为211,这组一共有21个数,S21 = 21 ⨯ 211 +21202⨯⨯ 1 = 4641,故选B.【说明】认真分析条件,转化为数列的基本问题.8.已知数列{a n}的前n项和S n = 10n-n2 (n∈N*),又b n = | a n |,求b n的前n项和T n.解:由题可得:a1 = 9,当n > 1时a n = S n-S n- 1 = - 2n + 11,若使a n = - 2n + 11 ≥ 0,则n≤ 5.5,即数列的前5项非负,以后各项均负,∴当n≤ 5时,T n = S n = 10n-n2,当n≥ 6时,T n = a1 + a2 + … + a5- (a6 + a7 + … + a n)= 2(a1 + a2 + … + a5) - (a1 + a2 + … + a n)= 2S5-S n = 50- (10n-n2),∴2210(0510505nn n nTn n n⎧-+<≤⎪=⎨-+>⎪⎩)().故第n组的第一个数是(n2-n- 1) + 2 = n2-n + 1.9.设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为S n.(1) 若a11 = 0,S14 = 98,求数列{a n}的通项公式;(2) 若a1≥ 6,a11 > 0,S14≤ 77,求所有可能的数列{a n}的通项公式.解:(1) 由S14 = 98,得2a1 + 13d = 14,又a11 = a1 + 10d = 0,解得d = - 2,a1 = 20,所以数列{a n}的通项公式是:a n = 22 - 2n.(2) 由14111776Saa≤⎧⎪>⎨⎪≥⎩,得111213111006a da da+≤⎧⎪+>⎨⎪≥⎩,即111213112200212a da da+≤⎧⎪--<⎨⎪-≤-⎩①②③由① + ②得- 7d < 11,即117d>-,① + ③得113d≤-,∴111713d-<≤-,又d∈Z,∴d = - 1,从而得10 < a1≤ 12,由a1∈Z,得a1 = 11或a1 = 12,故所有可能的数列{a n}的通项公式是:a n = 12 -n和a n = 13 -n.等比数列三、等比数列1.等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第.2.项起..,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数..,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q 表示(q ≠ 0),即:a n + 1∶a n = q (q ≠ 0).注意条件“从第2项起”、“常数”q .由定义可知:等比数列的公比和项都不为零. 2.等比数列的通项公式为:a n = a 1q n - 1 (a 1 ≠ 0,q ≠ 0).说明:(1) 由等比数列的通项公式可知:当公比q = 1时,该数列既是等比数列也是等差数列; (2) 由等比数列的通项公式知:若{a n }为等比数列,则nma a = q n - m ,即a n = a m q n - m . 3.等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.其中G 2 = ab,即G = 说明:两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项,它们互为相反数.4.等比数列前n 项和公式:11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩(错位相减法).说明:(1) a 1,q ,n ,S n 中已知三个可求第四个;(2) 注意求和公式中是q n ,通项公式中是q n - 1,不要混淆; (3) 应用求和公式时,必要时应分q ≠ 1和q = 1的情况讨论. 5.等比数列的性质:(1) 等比数列任意两项间的关系:如果a n 是等比数列的第n 项,a m 是等比数列的第m 项,公比为q ,则有a n = a m q n - m . (2) 对于等比数列{a n },若m + n = s + t (m ,n ,s ,t ∈ N *),则a m ⋅ a n = a s ⋅ a t .(3) 若{a n }是等比数列,S n 是其前n 项的和,m ∈ N *,那么当q ≠ -1或m 为奇数时,S m ,S 2m - S m ,S 3m - S 2m 成等比数列.(4) 等比数列{a n }中,a n + 1 = a n q ,a n + 12 = a n a n + 2. (5) 等比数列{a n }中,若公比为q ,则① 当a 1 > 0,q > 1或a 1 < 0,0 < q < 1时为递增数列; ② 当a 1 < 0,q > 1或a 1 > 0,0 < q < 1时为递减数列;③ 当q < 0时为摆动数列; ④ 当q = 1时为常数列.10. 求下列各等比数列的通项公式:(1) a 1 = - 2,a 3 = - 8; (2) a 1 = 5,且2a n + 1 = - 3a n .解:(1) a 3 = a 1q 2 ⇒ q 2 = 4 ⇒ q = ± 2,∵a n = a 1q n - 1,∴a n = - 2n ,或a n = (- 2)n .(2) ∵132n n a q a +==-,又a 1 = 5,∴135()2n n a -=⨯-.11. 已知a 1,a 2,a 3,…,a 8是各项均为正数的等比数列,公比q ≠ 1,则( A )A .a 1 + a 8 > a 4 + a 5B .a 1 + a 8 < a 4 + a 5C .a 1 + a 8 = a 4 + a 5D .a 1 + a 8与a 4 + a 5的大小关系不确定【分析】比较两数大小用到作差比较法.解:a 1 + a 8 = a 1 + a 1q 7 = a 1(1 + q 7),a 4 + a 5 = a 1q 3 + a 1q 4 = a 1(q 3 + q 4),a 1 + a 8 - (a 4 + a 5) = a 1(1 + q 7) - a 1(q 3 + q 4)= a 1(1 + q 7 - q 3 - q 4) = a 1(1 - q 3) (1 - q 4).∵a 1,a 2,a 3,…,a 8的各项均为正数,∴a 1 > 0,q > 0.当q > 1时有q 3 > 1,q 4 > 1,a 1(1 - q 3) (1 - q 4) > 0;当0 < q < 1时有q 3 < 1,q 4 < 1,也有a 1(1 - q 3) (1 - q 4) > 0,∴对任意正数q ≠ 1都有a 1 + a 8 - (a 4 + a 5) > 0,即a 1 + a 8 > a 4 + a 5,故选A .12. (2012浙江理13)设公比为q (q > 0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2 = 3a 2 + 2,S 4 = 3a 4 + 2,则q =______________. 【答案】32【解析】将S 2 = 3a 2 + 2,S 4 = 3a 4 + 2两个式子全部转化成用a 1,q 表示的式子,即111233*********a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩,两式作差得:a 1q 2 + a 1q 3 = 3a 1q (q 2 - 1),∵a 1 ≠ 0,q ≠ 0,∴q + q 2 = 3(q 2 - 1),又q > 0,∴可得q = 3(q - 1),解之得:32q =. 13. 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 5a 6 = 9,则log 3a 1 + log 3a 2 + …+ log 3a 10 = ( B )A .12B .10C .8D .2 + log 35【解析】log 3a 1 + log 3a 2 + …+ log 3a 10 = log 3(a 1a 2…a 10) = log 3(a 5a 6)5 = log 395 = 10.14. 若等比数列{a n }的公比q < 0,前n 项和为S n ,则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是( A )A .S 8a 9 > S 9a 8B .S 8a 9 < S 9a 8C .S 8a 9 = S 9a 8D .不确定【解析】由等比数列通项公式与前n 项和公式得S 8·a 9 - S 9·a 8 = -q q a --1)1(81·a 1q 8 -q q a --1)1(91·a 1q 7 =qa q q q a ----1)]()[(16716821 =qq q a --1)(7821= - a 12q 7. 又q < 0,则S 8·a 9 - S 9·a 8 > 0,即S 8·a 9 > S 9·a 8.15. (2012辽宁理14)已知等比数列{a n }为递增数列,且25a = a 10,2(a n + a n + 2) = 5a n + 1,则数列{a n }的通项公式为a n = ______________.【答案】2n【考点】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力,属于中档题.【解析】∵25a = a 10,∴ (a 1q 4)2 = a 1q 9,∴a 1 = q ,故a n = q n ,∵2(a n + a n + 2) = 5a n + 1,∴2a n (1 + q 2) = 5a n q ,∴2(1 + q 2) = 5q ,解得q = 2或q =12(舍去),∴a n = 2n . 16. (2011北京理11) 在等比数列{a n }中,若112a =,a 4 = - 4,则公比q = ;| a 1 | + | a 2 | + … + | a n | = .【答案】- 2;1122n . 【解析】由{a n }是等比数列得a 4 = a 1q 3,又112a =,a 4 = - 4,所以- 4 =12q 3 ⇒ q = - 2, {| a n |}是以12为首项,以2为公比的等比数列, | a 1 | + | a 2 | + … + | a n | 11(12)122122n n --==--.17.(2011江西理18) 已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1 = a (a > 0),b1-a1 = 1,b2-a2 = 2,b3-a3 = 3.(1) 若a = 1,求数列{a n}的通项公式;(2) 若数列{a n}唯一,求a的值.解:(1) 当a = 1时,设{a n}的公比为q,则b1 = 1 + a = 2,b2 = 2 + aq = 2 + q,b3 = 3 + aq2 = 3 + q2,又{b n}为等比数列,则b1,b2,b3成等比数列,得(2 + q)2 = 2(3 + q2),即q2- 4q + 2 = 0,解得q1,或q2 = 2 ,所以:a n)n- 1,或a n = (2 )n- 1.(2) 设{a n}的公比为q,则由(2 + aq)2 = (1 + a)(3 + aq2),得aq2- 4aq + 3a- 1 = 0,∵a > 0,∴△ = (4a)2- 4a(3a- 1) = 4a(a + 1) > 0,故方程有两个不同的实根,∵{a n}唯一,∴方程必有一根为0,将q = 0代入方程得,13a=.等差、等比数列综合18. (2010北京文16) (本小题共13分) 已知{a n }为等差数列,且a 3 = - 6,a 6 = 0.(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)若等比数列{b n }满足b 1 = - 8,b 2 = a 1 + a 2 + a 3,求{b n }的前n 项和公式. 解:(Ⅰ) 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3 = - 6,a 6 = 0,所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩,解得a 1 = - 10,d = 2, 所以a n = - 10 + 2(n - 1) = 2n - 12.或:由a 6 = a 3 + 3d ,及a 3 = - 6,a 6 = 0,得d = 2,a n = a 6 + 2(n - 6) = 2n - 12.或a n = a 3 + 2(n - 3) = 2n - 12.(Ⅱ) 设等比数列{b n }的公比为q ,因为b 2 = a 1 + a 2 + a 3 = - 24,b 1 = - 8,所以- 8q = - 24,即q = 3,所以{b n }的前n 项和公式为1(1)1n n b q S q-=-= 4(1 - 3n ).19. 等差数列{a n }中,a 4 = 10且a 3,a 6,a 10成等比数列,求数列{a n }前20项的和S 20.解:设数列{a n }的公差为d ,则a 3 = a 4 - d = 10 - d ,a 6 = a 4 + 2d = 10 + 2d ,a 10 = a 4 + 6d = 10 + 6d .由a 3,a 6,a 10成等比数列得a 3a 10 = a 62,即(10 - d )(10 + 6d ) = (10 + 2d )2,整理得10d 2 - 10d = 0,解得d = 0或d = 1.当d = 0时,S 20 = 20a 4 = 200.当d = 1时,a 1 = a 4 - 3d = 10 - 3 ⨯ 1 = 7,于是2012019202S a d ⨯=+= 20 ⨯ 7 + 190 = 330.20. (2012广东理19) (本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n = a n + 1 - 2n + 1 + 1,n ∈ N *,且a 1,a 2 + 5,a 3成等差数列.(1) 求a 1的值;(2) 求数列{a n }的通项公式;(3) 证明:对一切正整数n ,有1211132n a a a +++<. 【解析】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.(1) 解:2S n = a n + 1 - 2n + 1 + 1,2S n + 1 = a n + 2 - 2n + 2 + 1,相减得:a n + 2 = 3a n + 1 + 2n + 1,2S 1 = a 2 - 3 ⇒ a 2 = 2a 1 + 3,a 3 = 3a 2 + 4 = 6a 1 + 13,a 1,a 2 + 5,a 3成等差数列⇒ a 1 + a 3 = 2(a 2 + 5) ⇒ a 1 = 1.(2) 解:a 1 = 1,a 2 = 5,得a n + 1 = 3a n + 2n 对∀n ∈ N *均成立,a n + 1 = 3a n + 2n ⇒ a n + 1 + 2n + 1 = 3(a n + 2n ),∴{a n + 2n }是以a 1 + 21 = 3为首项,以3 为公比的等比数列,∴a n + 2n = 3n ,即a n = 3n - 2n .(3) 证明:当n = 1时,11312a =<, 当n ≥ 2时,233()()222n ≥> ⇔ 3n > 2 ⨯ 2n ⇔ 112n n a <. ∴231211111111311222222n n n a a a +++<++++=+-<, 综上得:对一切正整数n ,有1211132n a a a +++<. 或:∵a n = 3n - 2n = 3 ⨯ 3n - 1 - 2n = 3n - 1 + 2(3n - 1 - 2n - 1) ≥ 3n - 1,∴1113n n a -≤, ∴21121111111131331(1)132233313n n n n a a a --+++<++++==-<-.。

相关主题