浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）（1）F，R，P，J，L，G，（）（2）H，I，O，（）（3）N，S，（）（4）B，C，K，E，（）（5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M 2．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）若，则式子++等于（）A．﹣4x+3 B．5 C．2x+3 D．4x+33．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x=1，则a+b=（）A．B．C． D．4．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）若，则m﹣20072=（）A．2007 B．2008 C．20082D．﹣200825．（4分）（2014•余姚市校级自主招生）方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个B．2个C．4个D．6个7．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m、n，得到一个点P（m，n），则点P既在直线y=﹣x+6上，又在双曲线上的概率为（）A．B．C．D．8．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＞0，②c＜0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＞0，⑤4a+2b+c＞0．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A．B．C．D．10．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（）A．t=0 B．0≤t≤3 C．t≥3 D．以上都不对二、填空题（每题6分，共30分）11．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）已知关于x的不等式mx﹣2≤O的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是．12．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）用三种边长相等的正多边形地转铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为．13．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）如图，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y=（x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为．14．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．15．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走个小正方体．三、解答题（共50分）16．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA=5：3，CE=15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F 重合，求AB、BC的长．17．（8分）（2013•镇海区校级自主招生）如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．18．（13分）（2013•镇海区校级自主招生）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．（1）如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？（2）如图2，若在一个坡度为1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？②这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？19．（13分）（2013•镇海区校级自主招生）如图，直线AD对应的函数关系式为y=﹣x﹣1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由．20．（10分）（2013•镇海区校级自主招生）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每﹣层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．2013年浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）（1）F，R，P，J，L，G，（）（2）H，I，O，（）（3）N，S，（）（4）B，C，K，E，（）（5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M 【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．故选D．2．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）若，则式子++等于（）A．﹣4x+3 B．5 C．2x+3 D．4x+3【解答】解：∵，∴x﹣1≤0，x﹣3＜0，2x+1≥0，∴++==|x﹣1|+|x﹣3|+|2x+1|=1﹣x+3﹣x+2x+1=5．故选B．3．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x=1，则a+b=（）A．B．C． D．【解答】解：把x=1代入得：﹣=1，去分母得：4k+2a﹣1+kb﹣6=0，即（b+4）k=7﹣2a，∵不论k取什么实数，关于x的方程﹣=1的根总是x=1，∴，解得：a=，b=﹣4，∴a+b=﹣，故选C．4．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）若，则m﹣20072=（）A．2007 B．2008 C．20082D．﹣20082【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：m﹣2008≥0，解得：m≥2008，则|2007﹣m|=m﹣2007，原式=m﹣2007+=m，=2007，m﹣2008=20072，m﹣20072=2008，故选：B．5．（4分）（2014•余姚市校级自主招生）方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：6xy+4x﹣9y﹣7=3y（2x﹣3）+2（2x﹣3）﹣1，=（2x﹣3）（3y+2）﹣1=0，所以（2x﹣3）（3y+2）=1，因为方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解，所以2x﹣3和3y+2也为整数，所以2x﹣3=3y+2=1 或者2x﹣3=3y+2=﹣1，x1=2，y1=﹣（不合题意舍去）x2=1，y2=﹣1所以，方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解为x=1，y=﹣1；则方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解的个数为1组，故选：A．6．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个B．2个C．4个D．6个【解答】解：∵A，B的纵坐标相等，∴AB∥x轴，AB=3﹣（﹣2）=5．∵C是坐标轴上的一点，过点A向x轴引垂线，可得一点，过点B向x轴引垂线，可得一点，以AB为直径作圆可与坐标轴交于4点．∴根据直径所对的圆周角是90°，满足条件的点共有4个，为C，D，E，H．加上A、B共6个．故选D．7．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m、n，得到一个点P（m，n），则点P既在直线y=﹣x+6上，又在双曲线上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）∵共36种等可能的结果，点P既在直线y=﹣x+6上，又在双曲线上的有：（2，4），（4，2），∴点P既在直线y=﹣x+6上，又在双曲线上的概率为：=．故选C．8．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＞0，②c＜0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＞0，⑤4a+2b+c＞0．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＞0，所以①正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，所以②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，所以③正确；当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，所以④正确；∵对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）与（2，0）之间，∴当x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，所以⑤不正确．故选C．9．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据图形和题意可得：（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，则方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=所以正方形的面积为（1+）2=，故选：D．10．（4分）（2013•镇海区校级自主招生）二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（）A．t=0 B．0≤t≤3 C．t≥3 D．以上都不对【解答】解：∵y=﹣x2+6x﹣7=﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，y max=f（3）=2，与y max=﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，y max=f（t+2）=﹣（t﹣1）2+2，与y max=﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，y max=f（t）=﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，故选C．二、填空题（每题6分，共30分）11．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）已知关于x的不等式mx﹣2≤O的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是．【解答】解：解不等式mx﹣2≤0移项得：mx≤2只有不等号方向改变，不等式才可能只有两个负整数解﹣1，﹣2．所以m＜0．则不等式的解集是：x≥根据题意得：﹣3＜≤﹣2，且m＜0解得：﹣1≤m＜﹣．12．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）用三种边长相等的正多边形地转铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为．【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为：++=360，两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，两边都除以2得，++=．故答案为：++=．13．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）如图，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y=（x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为（1+，0）．【解答】解：∵△OAP是等腰直角三角形，∴直线OP：y=x，联立y=（x＞0）可得P（2，2）；∴A（2，0），由于直线OP∥AQ，可设直线AQ：y=x+h，则有：2+h=0，h=﹣2；∴直线AQ：y=x﹣2；联立y=（x＞0）可得Q（1+，﹣1），即B（1+，0）．故答案为：（1+，0）．14．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．【解答】解：由题意得：，∴方程组可变形为：∴对符合条件的a1，b1，a2，b2都成立．故答案为：．15．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走27个小正方体．【解答】解：第1列最多可以搬走9个小正方体；第2列最多可以搬走8个小正方体；第3列最多可以搬走3个小正方体；第4列最多可以搬走5个小正方体；第5列最多可以搬走2个小正方体．9+8+3+5+2=27个．故最多可以搬走27个小正方体．故答案为：27．三、解答题（共50分）16．（6分）（2013•镇海区校级自主招生）如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA=5：3，CE=15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F 重合，求AB、BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，∴∠AFE+∠AEF=90°（2分）∵F在AD上，∠EFC=90°，∴∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC，（3分）∴．（4分）∵BE：EA=5：3设BE=5k，AE=3k∴AB=DC=8k，由勾股定理得：AF=4k，∴∴DF=6k∴BC=AD=10k（5分）在△EBC中，根据勾股定理得BE2+BC2=EC2∵CE=15，BE=5k，BC=10k∴∴k=3（6分）∴AB=8k=24，BC=10k=30（7分）17．（8分）（2013•镇海区校级自主招生）如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．【解答】证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，∵BM⊥AC，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵AB=BD，∴=，∴∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，∴∠BCE=∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，∴∠BEA=∠BCD，∵∠BAE=∠BDC，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∴AM=AE+EM=DC+CM．18．（13分）（2013•镇海区校级自主招生）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．（1）如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？（2）如图2，若在一个坡度为1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？②这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？【解答】解：（1）y=×402=16，16+6=22米；固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度．（2）如图，以点A为原点，建立坐标系，∵斜坡的坡度为1：5，CD=50m，∴CE=10m，∴点B的坐标为（50，10），设抛物线的解析式为y=x2+bx，∴10=×2500+50b，解得，b=﹣，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x=（x﹣15）2﹣2.25，∴设抛物线的顶点为M，则M（15，﹣2.25），作MF⊥CD，交DE于点G，交CD于点F，∴MF=20﹣2.25=17.75m，又∵DF=15m，∴FG=DF=3m，∴MG=MF﹣FG=17.75﹣3=14.75m；即下垂的电缆与地面的最近距离为14.75m．19．（13分）（2013•镇海区校级自主招生）如图，直线AD对应的函数关系式为y=﹣x﹣1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，则﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，所以，点A的坐标为（﹣1，0），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵B（3，0），C（0，﹣3）在抛物线上，∴，解得，所以，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）∵P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，∴设点P（x，﹣x﹣1），则点E的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3），=﹣x﹣1﹣x2+2x+3，=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣）2+，联立，解得，，所以，点D的坐标为（2，﹣3），∵P是线段AD上的一个动点，∴﹣1＜x＜2，∴当x=时，PE有最大值，最大值为；（3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴点F的坐标为（1，﹣4），点G的横坐标为1，y=﹣1﹣1=﹣2，∴点G的坐标为（﹣1，﹣2），∴GF=﹣2﹣（﹣4）=﹣2+4=2，∵四边形GFEP为平行四边形，∴PE=GF，∴﹣x2+x+2=2，解得x1=0，x2=1（舍去），此时，y=﹣1，∴点P的坐标为（0，﹣1），故，存在点P（0，﹣1），使得四边形GFEP为平行四边形；（4）存在．理由如下：①当点H在x轴下方时，∵点Q在x轴上，∴HD∥AQ，∴点H的纵坐标与点D相同，是﹣3，此时，x2﹣2x﹣3=﹣3，整理得，x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2（舍去），∴HD=2﹣0=2，∵点A的坐标为（﹣1，0），﹣1﹣2=﹣3，﹣1+2=1，∴点Q的坐标为（﹣3，0）或（1，0）；②当点H在x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离，∵点D的纵坐标为﹣3，∴点H的纵坐标为3，∴x2﹣2x﹣3=3，整理得，x2﹣2x﹣6=0，解得x1=1﹣，x2=1+，∵点A的横坐标为﹣1，点D的横坐标为2，2﹣（﹣1）=2+1=3，根据平行四边形的性质，1﹣+3=4﹣，1++3=4+，∴点Q的坐标为（4﹣，0）或（4+，0），综上所述，存在点Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0），使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形．20．（10分）（2013•镇海区校级自主招生）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每﹣层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．【解答】解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层的人直接上楼，s＜t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少．设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为：s=3[1+2+3+…+（33﹣x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x﹣y﹣2）]，=++，=2x2﹣（y+102）x+2y2+3y+1684，=2（x﹣）2+（15y2﹣180y+3068），=2（x﹣）2+（y﹣6）2+316≥316．又当x=27，y=6时，s=316，故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．参与本试卷答题和审题的老师有：zhxl；lf2-9；zjx111；sd2011；gbl210；mmll852；lanchong；zcx；gsls；mrlin；zhjh；HJJ；MMCH；yeyue；73zzx；星期八；CJX（排名不分先后）菁优网2016年4月26日。