2019学年镇海中学高三下开学考
数学 试题卷
本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分．
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式
()()()P A B P A P B +=+
V Sh =
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅
锥体的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么 13
V Sh =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
()()
()10,1,2,,n k
k k
n n P k C p p k n -=-=L
球的表面积公式
台体的体积公式
24S R π=
()
121
3
V S S h =⋅
球的体积公式
其中1S 、2S 表示台体的上、下底面积，h 表示 34
3
V R π=
棱台的高
其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、 选择题：每小题4分，共40分
1. 设集合{}
2|230A x x x =∈--<Z ，集合{}1,0,1B =-，则集合A B =I （ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}1,0,1-
2. 已知双曲线()2
2
210y x b b
-=>
）
A ．3
B ．2 C
D
3. 设实数x ，y 满足25100
050
x y x x y +-≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩，则实数42x y z =的最小值是（ ）
A ．1024
B ．
14 C ．132 D ．11024 4. 设0ω>，将函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移3π个单位长度后与函数cos 6y x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像重合，则ω
的最小值为（ ）
A ．12
B ．32
C ．5
2 D ．1
5. 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； ②若m α⊥，m n ⊥，则n α∥；
③若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n α⊥； ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥．
其中正确的命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6. 在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个红球和2个白球，现从中有放回的摸取6次，每次随机摸
一球，设摸得红球个数为X ，白球个数为Y ，则（ ） A ．()()E X E Y >，()()D X D Y = B ．()()E X E Y >，()()D X D Y >
C ．()()E X E Y >，()()
D X D Y <
D ．()()
E X E Y <，()()D X D Y <
7. 下列命题中是真命题的是（ ） A ．“1x ≥”是“1x >”的充分不必要条件 B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R
C ．“若1x >，则10x ->”的否命题是“若1x >，则10x -≤”
D ．“2x ≠或3y ≠”是“5x y +≠”的必要不充分条件
8. 已知数列{}n a 满足0n a >，22
1114n n n n a a a a ++++
=+，且112
a =，则该数列的前2020项的和等于（ ） A ．30272 B ．1514 C ．3029
2 D ．1515
9. 已知长方形ABCD 中，AB BC >，现将ABC △沿AC 翻折至AB'C △（B'与B 不重合），设直线AB'与
CD 所成角为α，二面角A B'C D --为β，则（ ）
A ．αβ<
B ．αβ>
C ．αβ=
D ．以上都不对
10. 已知向量m ，n 满足()()20+-=m n m n ，()()210-++=m n m n ，则n 的最小值为（ ）
A ．
14
B ．
12
C
D ．1
非选择题部分（共110分）
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11. 已知i 是虚数单位，且112i z =-，23+i z m =()m ∈R ，则1z = ，若
2
1
z z 是实数，则实数m = ．
12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ，表面积是 ．
13. 若()()()()7
2
7
012732111x a a x a x a x --=+++++⋅⋅⋅++，则127=a a a ++⋅⋅⋅+ ，
6=a ．（用数字表示）
14. 已知向量a ，b ，c 满足++=a b c 0
，=c ，c 与-a b 所成的角为
56
π
，若t ∈R ，则()1t t -a +b 的最小值是 ；此时()1t t --=a +b c ．
15. 学校水果店有苹果、梨、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西柚等7种水果，西柚数量不多，只够一个人购
买，甲乙丙丁戊5位同学去购买，每人只能选择其中一种，这5位同学购买后，恰好买了其中三种水果，则他们购买水果的可能情况有 种．
16. 已知椭圆r ：()22
2210x y a b a b
+=>>
，△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条
边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，
O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123
111
k k k ++= ．
17. 已知函数()()cos sin f x x a x x =--，对于任意的()10,x π∈，存在[]20,x π∈，使得()122cos 3f x x x >+-，
则a 的取值范围是 ．
三、解答题：5小题，共74分
18. （本题满分14
分）已知函数()sin cos f x x x -．
（1）求函数()f x 的值域；
（2）在ABC △中A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且满足()1f B =
，a 1b =，求c 的值．
19. （本题满分15分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，AB DE P ，ACD △为等边三角形，2AD DE AB ==，
F 为CD 的中点．
（1）求证：AF P 平面BCE ；
（2）求直线AD 和平面BCE 所成角的正弦值．
F
E
D
C
B A
20. （本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()
222220n n S n n S n n -+-++=．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列n b =，证明：121n b b b ++⋅⋅⋅+≤．
21. （本题满分15分）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为12，并且经过点31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）一条斜率为k 的直线交椭圆于A ，B 两点（不同于P ），直线AP 和BP 的斜率分别为1k ，2k ，满足123k k +=，试判断直线AB 是否经过定点，请说明理由．
22. （本题满分15分）已知函数()()ln 1sin f x x a x =+-，a ∈R ．
（1）若()y f x =在()0,0处的切线为30x y -=，求a 的值； （2）若存在[]1,2x ∈，使得()2f x a ≥，求实数a 的取值范围．。