3、定轴转动（fixed-axis rotation)：如果转轴的位置 或方向是固定不动而不随 时间改变的。
➢ 刚体的平面运动 .
+ ➢ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
二、刚体定轴转动运动学
1、定轴转动刚体的表示方法
刚体转动的角坐标、角速度和角加速度
角坐标 (t)
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0
a ret r 2en
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单 系统的力学问题.
§4-1、刚体的定轴转动(fixed-axis rotation of rigid body) 一、基本概念
•刚体（rigid body)：在任何外力作用下物体的形状和大 小不发生变化，即物体内任意两点间的距离都保持不变 ，这种理想化的物体称为刚体。

dl L
m g

1 2
m gL
M 的方向与相反
角位移 (t t) (t)
z
ω
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
x
角速度矢量 lim d
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
刚体对转轴的角速度为： d
dt
单位为弧度每秒，符号为： s-1或rads-1 d>0 时 ， 则 有 >0 ， 刚 体 绕 定轴逆时针转动， d<0 时 ， 则 有 <0 ， 刚 体 绕 定轴顺时针转动。
解 （1）0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时，0 0 .飞轮做匀减速运动
0 0 5π rad s1 π rad s2
飞轮 30 s 内转t过的角度30
6
2 02 (5π )2 75π rad 2 2 (π 6)
at

r

0.2 (π )m s2 6

0.105 m s2
an r 2 0.2 (4 π)2 m s2 31.6 m s2
例：在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕
垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时，它的角速度 w0=0，经300s后，其转速度达到18000rmin-1。已知转 子的角加速度与时间成正比，问在这段时间内，转子 转过多少转？ 角加速度n转
第四章 刚体的转动
教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与 线量的关系.
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动 的转动定理.
三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚 体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.
四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体 绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度


0

t

(5π
π 6Leabharlann 6)rads1
4π
rad

s1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4π m s2 2.5 m s2
该点的切向加速度和法向加速度
60
代入的表达式，得：c
2 t2

2 600 3002

rad s3 75
故有：，又根据角速度
的定义得：
d ct2 rad s3t2
dt 2 150 分离变量并利用初始条件积分得：

d

t
rad s3 t2dt

rad s3 t3
解：由题知：转子是定轴转动，角加速度与时间成正比 ，即转子作变角加速度定轴转动。设角加速度为： =ct，c为常数值，则 d ct，分离变量得：
dt
又已知:t=300s时
d

ctdt
，


0
d

t
c 0
tdt



1 2
ct2
=18000rmin-1=18000 2 rad s1 600rad s1
0
150
0
150
3
300s内，转子转过的转数为：n 3104 2
§4-2 力矩（moment of force)、刚体定轴转动定律
一. 力矩（moment of force): 刚体绕 O z 轴旋转 , 力F
M
作平用面在内刚, 体r上为点由点P ,O且到在力转的动
作用点 P 的径矢 .
，这是线速度和角速度通用的关系
式。
r
v
3、角加速度(angular acceleration)
刚体定轴转动中，在t1时刻，角速度为1，在t2 时刻，角速度为2，则在t=t2-t1的时间内，刚体 角速度的增量为=2-1，则由定义：
瞬时角加速度

lim t0
t
一个端点o转动，杆与桌面间的摩擦系数为，问转动
中杆受到的摩擦力矩为多少？ 解：摩擦力矩在杆的不同部位是不相同的
在杆上任意选取一长度元dl,则
df m dlg
L
dM r df
其大小：dM ldf 其方向：与角速度的方向相反，且所
有长度元上力矩方向相同
M


dM

L

O
l
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消

M ij
O

d
rj
ri
i
j
Fji Fij
M ji
一对内力产生的力矩矢量和为零
Mij M ji
4)力矩为零的情况:
（1）力F 等于零；
（2）力F的作用线与矢径 r共线（即 sin 0 ）
有心力：物体所受的力始终指向（或背 离）某一固定点

m
R2
rdrd

mrdrd R2
面积元受到的摩擦力矩为
dM

dm g
r

m
R2
gr2drd
整个圆盘受到的摩擦力
矩为
M
dM

mg R2
R 0
2 0
r2drd

2 mgR
3
M 的方向与相反
例2：一均质细杆放置在水平桌面上，杆可绕着它的
方向: 右手螺旋方向
z
>0
z

<0

角速度也是一个矢量，只是在定轴转动中，才可
用转动角中速（度旋的转正陀负螺来等表）示，刚角体速转度动就的必方须向用。矢但量在非 定表示轴。
在一般情况下，若刚体内一个
质点p到转轴的径矢为 线速度就可以表示为
vr

，则rp点的
与r
反向:
负

z
M
r
Od
P*
F
讨论

1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
Mzk
r
F
z
k
Fz
F

O r F
M z rF sin
2）合力矩等于各分力矩的矢量和 M M1 M2 M3
0 t
x

x0

v0t

1 2
at 2

0
0t

1 2
t
2
v2

v
2 0
2a(x

x0 )
2

2 0

2 (
0)
三 角量与线量的关系
d
dt


d
dt

d 2
d2t
v ret
a
an r
et
at v
at r an r 2
例1：质量为m，半径为R的圆盘在水平面上绕中心竖 直轴o，沿逆时针方向转动，圆盘与水平面间的摩擦系 数为，求摩擦力对转轴o的力矩。 解： 摩擦力矩在圆盘的不同部位是不相同的（变力矩）, 任取一半径为r r + dr ，角度为θ θ + dθ的面积元， 则该面积元的质量为：
dm

rdrd
d : 力臂
F 对转轴 Z 的力矩

z
M
r
Od
P*
F
M Frsin Fd
F
对转轴OZ的力矩：M
定义：M

r
F
=
Fd
=
Frsin,考虑力矩有方向

M
大小: rFsin
M 方向: 右手螺旋法则 单位：米牛顿，m N
与r 同向: 正

dt dt 2
定轴转动中：
d > 0, > 0;
d < 0, < 0
d > 0, > 0;
d < 0, < 0
三 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比