2020-2021学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={−1,0，2，3}，B ={x|x =2k −1,k ∈N}，那么A ∩B =( )A. {−1,0}B. {−1,2}C. {0,3}D. {−1,3}2. 方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是( )A. {(1,−1)，(−1,1)}B. {(1,1)，(−2,2)}C. {(1,−1)，(−2,2)}D. {(2,−2)，(−2,2)}3. 函数y =lgx +1x−1的定义域是( )A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)∪(1,+∞)D. [0,1)∪(1,+∞)4. 为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间(阅读时间t ∈[0,50])，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图.则图中a 的值为( )A. 0.028B. 0.030C. 0.280D. 0.3005. 若a >b ，则一定有( )A. 1a <1bB. |a|>|b|C. √a 2>√b 2D. a 3>b 36. 在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 设2m =3n ，则m ，n 的大小关系一定是( )A. m >nB. m <nC. m ≥nD. 以上答案都不对8. 从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x ，那么x 满足的方程是( )A. 5x =0.2B. 5(1−x)=0.8C. x 5=0.2D. (1−x)5=0.89. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，则“存在实数λ，使得a ⃗ =λb ⃗ ”是“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 设f(x)为定义在R 上的函数，函数f(x +1)是奇函数.对于下列四个结论：①f(1)=0；②f(1−x)=−f(1+x)；③函数f(x)的图象关于原点对称； ④函数f(x)的图象关于点(1,0)对称． 其中，正确结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(−3,1)，那么|a ⃗ −b ⃗ |= ______ ．12. 若方程x 2−2x +a =0有两个不相等的正实数根，则实数a 的取值范围是______ ．13. 设f(x)为R 上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(2)=0，则不等式f(x)<0的解集是______ ． 14. 已知函数f(x)={log 0.5x,x >0x 2+2x,x ≤0，那么f(2)= ______ ；当函数y =f(x)−a 有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是______ ．15. 某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐；②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐； ③如果购买n(n ∈N ∗)罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数f(n)=n +[n−12].(其中[x]表示不大于x 的最大整数) 则所有正确说法的序号是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 某校高一年级1000名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图．(Ⅰ)估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；(Ⅱ)现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求其中恰有1人体育成绩在[60,70)的概率．17. 设函数f(x)=x +4x +3．(Ⅰ)求函数f(x)的图象与直线y =2x 交点的坐标； (Ⅱ)当x ∈(0,+∞)时，求函数f(x)的最小值；(Ⅲ)用单调性定义证明：函数f(x)在(2,+∞)上单调递增．18.如图茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．(Ⅰ)若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求a的值；(Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；(Ⅲ)当a=3时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小.(结论不要求证明)19.设函数f(x)=2x+1．(Ⅰ)若f(a)=2，求实数a的值；(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；2x−1(Ⅲ)若f(x)≤m对于x∈[1,+∞)恒成立，求实数m的最小值．20.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以x(单位：吨，100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，y(单位：元)表示下一个销售季度内销售该农产品的利润．(Ⅰ)将y表示为x的函数；(Ⅱ)求出下一个销售季度利润y不少于57000元时，市场需求量x的范围．21.设函数f(x)的定义域为R.若存在常数m(m≠0)，对于任意x∈R，f(x+m)=mf(x)成立，则称函数f(x)具有性质Γ.记P为满足性质厂的所有函数的集合．(Ⅰ)判断函数y=x和y=2是否属于集合P？(结论不要求证明)(Ⅱ)若函数g(x)=(√2)x，证明：g(x)∈P；(Ⅲ)记二次函数的全体为集合Q，证明：P∩Q=⌀．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A ={−1,0，2，3}，B ={x|x =2k −1,k ∈N}， ∴A ∩B ={−1,3}． 故选：D ．进行交集的运算即可．本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：解{x +y =0x 2+x =2得，{x =−2y =2或{x =1y =−1，∴原方程组的解集为：{(1,−1)，(−2,2)}． 故选：C ．解原方程组得出x ，y 的值，然后写出原方程组的解集即可． 本题考查了列举法的定义，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：要使函数有意义，则{ x >0x −1≠0，即{ x >0x ≠1，即函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞)， 故选：C ．根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图得：(0.006+a +0.040+0.020+0.006)×10=1， 解得a =0.028． 故选：C ．由频率分布直方图的性质列出方程，能求出a ．本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误； 对于B ，若0>a >b ，则|a|<|b|，故B 错误；对于C ，若0>a >b ，则a 2<b 2，则√a 2<√b 2，故C 错误； 对于D ，若a >b ，则a 3>b 3显然成立，故D 正确． 故选：D ．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B ．利用向量加法法则直接求解．本题考查向量的求法，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：当m >n 时，因为函数y =2x 在R 上单调递增，所以2m =3n >2n ， 所以(32)n >1，所以m >n >0， 当m =n 时，(32)n =1，所以m =n =0，当m <n 时，因为函数y =2x 在R 上单调递增，所以2m =3n <2n ， 所以(32)n <1，所以n <0，则m <n <0， 故选：D ．根据已知可分三种情况讨论，即m =n ，m >n ，m <n ，然后根据每种情况分析求出对应关系即可．本题考查了指数函数的单调性以及指数不等式的求解，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：设2015年该企业单位生产总值能耗为a ， 则2016年该企业单位生产总值能耗为a(1−x)，2017年该企业单位生产总值能耗为a(1−x)2，该企业单位生产总值能耗为a(1−x)3，该企业单位生产总值能耗为a(1−x)4，该企业单位生产总值能耗为a(1−x)5，由题设可得a(1−x)5=0.8a，故(1−x)5=0.8．故选：D．根据题意，逐年列出生产总值能耗，即可得到答案．本题考查了函数在实际生活中的应用，涉及了根据实际问题选择函数类型的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型，属于基础题．9.【答案】B【解析】【分析】根据向量平行的应用，考查充分条件和必要条件的判断，是基础题．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量平行的应用进行化简是解决本题的关键．【解答】解：若“|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |”，则平方得|a⃗|2+2a⃗⋅b⃗ +|b⃗ |2=|a⃗|2+|b⃗ |2+2|a⃗|⋅|b⃗ |，即a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |，即a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >=|a⃗|⋅|b⃗ |，则cos<a⃗，b⃗ >=1，即<a⃗，b⃗ >=0，即a⃗，b⃗ 同向共线，则存在实数λ，使得a⃗=λb⃗ ，反之当<a⃗，b⃗ >=π时，满足a⃗=λb⃗ ，但<a⃗，b⃗ >=0不成立，即“存在实数λ，使得a⃗=λb⃗ ”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |”的必要不充分条件，故选：B．10.【答案】C【解析】解：对于①，函数f(x+1)是奇函数⇒f(0+1)=0⇒f(1)=0，所以①对；对于②，函数f(x+1)是奇函数⇒f(−x+1)=−f(x+1)⇒f(1−x)=−f(x+1)，所以②对；对于③，函数f(x)的图象未必关于原点对称，如f(x)=x−1，满足条件，但不关于原点对称，所以③错；对于④，函数f(x+1)是奇函数，f(x+1)的图象关于点(0,0)对称，将f(x +1)的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象，所以f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以④对； 故选：C ．由奇函数的定义分别判断①②③，用奇函数定义及图象平移即可断定④． 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，对称性，属基础题．11.【答案】5【解析】解：∵a ⃗ −b ⃗ =(1,−2)−(−3,1)=(4,−3)， ∴|a ⃗ −b ⃗ |=5． 故答案为：5．可求出向量a ⃗ −b ⃗ 的坐标，然后即可求出|a ⃗ −b ⃗ |的值．本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】(0,1)【解析】解：设方程x 2−2x +a =0有两个不相等的正实数根为x 1，x 2， 则x 1>0，x 2>0，所以{△=(−2)2−4×1⋅a >0x 1+x 2=−−21>0x 1x 2=a >0，解得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)．利用根的分布以及韦达定理列出关于a 的不等式组，求解即可得到答案． 本题考查了根的分布问题，涉及了根与系数关系的应用，属于基础题．13.【答案】(−∞,−2)∪(0,2)【解析】解：∵f(x)为R 上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(2)=0， ∴(x)在(−∞,0)上单调递增，f(−2)=0， 则f(x)对应图象如图：则f(x)<0的解集(−∞,−2)∪(0,2)， 故答案为：(−∞,−2)∪(0,2)．根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查不等式求解，结合函数奇偶性和单调性的关系，作出函数f(x)的简图，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．14.【答案】−1 (−1,0]【解析】解：函数f(x)={log 0.5x,x >0x 2+2x,x ≤0，f(2)=log 0.52=−log 22=−1； 函数f(x)={log 0.5x,x >0x 2+2x,x ≤0的图象如图：函数y =f(x)−a 有且仅有三个零点时，a ∈(−1,0]． 故答案为：−1；(−1,0]．利用函数的解析式求解函数值即可得到第一问；画出函数的图象，通过数形结合求解a 的范围即可． 本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．15.【答案】②③【解析】解：对于①，购买10罐可乐，实际最多可以饮用可乐罐数为10+3+1=14，所以①错误； 对于②，因为67÷3=22余1， (22+1)÷3=7余2， (7+2)÷3=3， 3÷3=1；所以67+22+7+3+1=100，即欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐，②正确；对于③，由①②，验证购买n(n ∈N ∗)罐可乐，实际最多可饮用可乐的罐数f(n)=n +[n−12]，(其中[x]表示不大于x 的最大整数)正确．总结规律可知：剩余的空罐数为1或2；购买奇数罐可乐剩余1个空罐，购买偶数罐可乐剩余2个空罐； 每多购买2罐可乐，实际可多饮用1罐可乐；实际饮用可乐罐数比购买可乐罐数的1.5倍少0.5或1； 所以购买n(n ∈N ∗)罐可乐，实际最多可饮用可乐的罐数f(n)=n +[n−12]，(其中[x]表示不大于x 的最大整数)．综上知，以上正确说法的序号是②③． 故答案为：②③．①，计算购买10罐可乐时实际最多可以饮用的可乐罐数即可； ②，由题意求出欲饮用100罐可乐时至少需要购买的可乐罐数即可；③，利用①②的结论验证购买n(n ∈N ∗)罐可乐时，实际最多可饮用可乐的罐数即可． 本题考查了命题真假的判断问题，也考查了逻辑推理应用问题，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由折线图得：该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数为：14+3+13=30(人)．(Ⅱ)体育成绩在[60,70)和[80,90)的学生人数分别为2人和3人， 现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，基本事件总数n =C 52=10，其中恰有1人体育成绩在[60,70)中包含的基本事件个数m =C 21C 31=6．∴其中恰有1人体育成绩在[60,70)的概率p =m n=610=35．【解析】(Ⅰ)由折线图能求出该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数．(Ⅱ)求出体育成绩在[60,70)和[80,90)的学生人数分别为2人和3人，从而求出基本事件总数和恰有1人体育成绩在[60,70)中包含的基本事件个数．由此能求出其中恰有1人体育成绩在[60,70)的概率． 本题考查频率、概率的求法，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17.【答案】(Ⅰ)解：令y =f(x)，则由题意得：{y =x +4x +3y =2x， 解得：{x =−1y =−2或{x =4y =8，故函数f(x)的图象与直线y =2x 交点的坐标是(−1,−2)，(4,8)；(Ⅱ)解：f(x)=x +4x +3≥2√x ⋅4x +3=2√4+3=7，当且仅当x =4x 即x =2时“=”成立，故f(x)在(0,+∞)上的最小值是7； (Ⅲ)证明：不妨设x 2>x 1>2，则f(x 2)−f(x 1)=x 2+4x 2+3−x 1−4x 1−3=(x 2−x 1)+4(x 1−x 2)x 1x 2=(x 2−x 1)⋅x 1x 2−4x 1x 2，∵x 2>x 1>2，∴x 2−x 1>0，x 1x 2−4x 1x 2>0，故f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)， 故函数f(x)在(2,+∞)上单调递增．【解析】(Ⅰ)联立方程组，解出即可；(Ⅱ)根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可； (Ⅲ)根据函数的单调性的定义证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查图象交点问题，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得13(88+92+92)=13[90+91+(90+a)]，解得a =1；(Ⅱ)设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， a 的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．由(Ⅰ)可知，当a =1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，∴当a =2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P(A)=810=45；(Ⅲ)当a =3时，x 甲−=13(88+92+92)=2723，x 乙−=13(90+91+93)=2743， 所以s 甲2=(88−2723)2+(92−2723)2+(92−2723)23=329， s 乙2=(90−2743)2+(91−2743)2+(93−2743)23=149， 因为329>149，所以甲组同学数学成绩的方差比乙组同学数学成绩的方差大．【解析】(Ⅰ)直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解a 的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)中求得的结果可得，当a =2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概率模型概率计算公式求概率；(Ⅲ)直接计算方差，然后比较大小．本题考查了茎叶图，考查了等可能事件的概率及古典概型概率计算公式，是基础的计算题．19.【答案】解：(Ⅰ)因为f(a)=2，所以2a +12a −1=2，所以2a +1=2⋅2a −2且2a ≠1，所以2a =3，所以a =log 23；(Ⅱ)f(x)为奇函数，证明如下：因为2x −1≠0，所以定义域为{x|x ≠0}关于原点对称，又因为f(−x)=2−x +12−1=1+2x 1−2=−2x +12−1=−f(x)，所以f(x)为奇函数； (Ⅲ)因为f(x)=2x +12x −1=2x −1+22x −1=1+22x −1，又因为y =2x −1在[1,+∞)上单调递增，所以y =22x −1在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)max =f(1)=3，又因为f(x)≤m 对于x ∈[1,+∞)恒成立，所以m ≥f(x)max =3，即m ≥3．所以m 得最小值为3．【解析】(Ⅰ)将x =a 代入解析式，解指数方程即可求出a 得值；(Ⅱ)先判断奇偶性，然后分析定义域并计算f(x)、f(−x)得数量关系，结合定义可得结论；(Ⅲ)先求出f(x)在[1,+∞)上得最大值，再根据要使f(x)≤m 对于x ∈[1,+∞)恒成立，即m ≥f(x)max ，求出m 得最小值即可．本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算的能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意得，当x ∈[100,130]时，y =500x −300(130−x)=800x −39000，当x ∈(130,150]时，y =500×130=65000．∴y ={800x −39000,x ∈[100,130]65000,x ∈(130,150)； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，当x ∈(130,150)时，利润y 为65000元，不少于57000元，当x ∈[100,130]时，由800x −39000≥57000，解得x ≥120．故下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围为[120,150]．【解析】(Ⅰ)直接由题意分段写出x ∈[100,130]和x ∈(130,150]时的利润函数即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当x ∈(130,150)时，利润y 为65000元，不少于57000元，当x ∈[100,130]时，求解不等式800x −39000≥57000，即可得到x 的范围．本题考查函数模型的选择及应用，考查一次不等式的解法，正确理解题意是关键，是基础题．21.【答案】(Ⅰ)解：函数y =x 不属于集合P ，y =2属于集合P ；(Ⅱ)证明：因为g(x)=(√2)x ，不妨令g(x +m)=mg(x)，所以(√2)x+m =m(√2)x ，所以(√2)m =m ，关于m 的方程有解，m =2，所以函数g(x)=(√2)x 具有性质Γ，则g(x)∈P ；(Ⅲ)证明：根据题意可知，P ∩Q =⌀等价于二次函数不具备性质Γ，假设存在二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)具备性质Γ，所以存在常数m(m ≠0)对于任意x ∈R 都有f(x +m)=mf(x)成立，即a(x +m)2+b(x +m)+c =amx 2+bmx +cm 成立，即ax 2+(2am +b)x +am 2+bm +c =amx 2+bmx +cm 成立，所以{a =am2am +b =bm am 2+bm +c =cm，解得a =0，b =0，m =1， 这与假设中的a ≠0矛盾，所以假设不成立，故二次函数不具备性质Γ，所以P ∩Q =⌀．【解析】(Ⅰ)根据性质Γ的定义判断y =x 与y =2是否具有性质Γ，由此判断出函数y =x 和y =2是否属于集合P ； (Ⅱ)先根据定义证明函数g(x)=(√2)x 具有性质Γ，然后即可证明g(x)∈P ；(Ⅲ)将问转化为证明二次函数不具备性质Γ，利用反证法进行证明即可；本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．。