2012届高考备考理科数学解答题训练⑴
1.（本小题满分12分）
已知在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a
b
B A =c o s c o s 且A
C cos sin =。

（Ⅰ）求角A 、B 、C 的大小；
（Ⅱ）设函数)2
2cos()2sin()(C
x A x x f -++=，求函数)(x f 的单调递增．．区间，并指出 它相邻两对称轴间的距离。

2.（本小题满分12分）
在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中,A 、B 两个代表队进行对抗赛,每队三名队员,A 队队员是1
23,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计,对阵队
员之间胜负概率如右表,现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分, 负队得0分,设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η,且
3ξη+=.
（Ⅰ）求A 队得分为1分的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强.
3.（本小题满分14分）
在正三角形A BC ∆中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足
2:1:::===PB CP FA CF EB AE （如图1）。

将AEF ∆沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二
面角B EF A --1成直二面角，连结B A 1、P A （如图2） （Ⅰ）求证：⊥E A 1平面BEP ；
（Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小； （Ⅲ）求二面角F P A B --1的余弦值。

2012届高考备考理科数学解答题训练⑴参考答案
1.（Ⅰ）由题设及正弦定理知:
cos sin cos sin A B
B A =,得sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+= ,即A B =或2A B π+=。

当A B =时,有sin(2)cos A A π-=,即1
sin 2A =,得
6A B π==,23C π=；当2A B π+=时,有sin()cos 2A π
π-=,即cos 1A =，不符题设。

∴6
A B π
==,23C π=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）及题设知:()sin(2)cos(2)2sin(2)636
f x x x x π
ππ
=+
+-=+，
当2[2,2]()6
22x k k k Z π
π
πππ+
∈-
+∈时, ()2sin(2)6
f x x π
=+为增函数
即()2sin(2)6
f x x π
=+
的单调递增区间为[,]()36
k k k Z π
π
ππ-
+∈.
它的相邻两对称轴间的距离为
2
π
. 2.（Ⅰ）设A 队得分为1分的事件为0A ,∴023*********()3
5
7
3
5
7
3
5
7
105
P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.…4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为3,2,1,0，且022312(3)()357105
P P A ξ===
⨯⨯=, 22412323340
(2)357357357105
P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
，23412413341(1)357357357105P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 13412(0)357105
P ξ==
⨯⨯=
,
∴ξ的分布列为:
……………… 9分
于是 12414012157
0123105105105105105
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
,……………………………10分 ∵3ξη+=,
∴158
3105
E E ηξ=-+=.……………………………………………………………… 11分
由于E E ηξ>, 故B 队比A 队实力较强. ……………………………………… 12分
3．不妨设正三角形ABC 的边长为3。

（解法一）（Ⅰ）在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ．∵AE :EB=CF :FA=1:2，∴AF=AD=2，
而∠A=600，∴△ADF 是正三角形，又AE=DE=1，∴EF ⊥AD ．…………………2分
在图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠A 1EB 为A 1-EF-B 的平面角．由题设知此二面角 为直二面角，∴A 1E ⊥BE ．又BE∩EF=E ，∴A 1E ⊥面BEF ，即A 1E ⊥面BEP ．…………4分
（Ⅱ）在图2中，∵A 1E 不垂直于A 1B ，∴A 1E 是平面A 1BP 的斜线．又A 1E ⊥平面BEP ，∴A 1E ⊥BP ， 从而BP 垂直于A 1E 在平面A 1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理）．设A 1E 在平面A 1BP 内的射 影为A 1Q ，且A 1Q ⋂BP = Q ，则∠EA 1Q 就是A 1E 与面A 1BP 所成的角，………………6分 又BP ⊥A 1Q ．在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=600，∴△EBP 是等边三角形，∴BE=EP ． 又A 1E ⊥平面BEP ，∴A 1B=A 1P ，∴Q 为BP 的中点，且EQ=3，又A 1E=1，在Rt △A 1EQ ， tan ∠EA 1Q=
31=E
A EQ
，∴∠EA 1Q=600．所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为600．…8分 （Ⅲ）过F 作FM ⊥A 1P 于M ，连结QM ，QF ．∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP 是正三角形，∴PF=1．又PQ=
2
1
BP=1，∴PF=PQ ①．∵A 1E ⊥平面BEP ，EQ=EF=3，∴A 1F=A 1Q ，∴△A 1FP ≌△A 1QP ，从而∠A 1PF=∠A 1PQ ②。

由①②及MP 为公共边知,△FMP ≌△QMP ， ∴∠QMP=∠FMP=900，且MF=MQ ，从而∠FMQ 为二面角B-A 1P-F 的平面角。

………10分 在Rt △A 1QP 中，A 1Q=A 1F=2，PQ=1，∴A 1P=5。

∵MQ ⊥A 1P ，∴MQ=5
5
211=
⋅P A PQ Q A ，∴MF=
5
5
2。

在△FCQ 中，FC=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得QF=3。

在△FMQ 中，cos ∠FMQ=8
7
2222-=⋅-+MQ MF QF MQ MF 。

所以二面角B-A 1P-F 的余弦值是78-．……14分
（解法二）（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）建立以ED 、EF 、EA 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A(0，0，1)，
B(2，0，0)，F(0
0)，P (1
0)，则(0,0,1)AE =-
，(2,0,1),(1AB BP =-=-
．
设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z = ，由1n ⊥ 平面ABP 知，11,n AB n BP ⊥⊥
，即
111120,
0.
x z x -=⎧⎪⎨
-=⎪⎩
令1x
得111,y z ==
1n = ．
111cos ,2||||AE n AE n AE n ⋅<>==⋅
1,120AE n <>= ，
所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为600．
（Ⅲ）1),(1,0,0)AF PF =-=-
，设平面AFP 的法向量为2222(,,)n x y z = ．
由2n ⊥ 平面AFP 知，22,n AF n PF ⊥⊥
，即
22220,
0.
x z -=⎧⎪-=令21y =
，得220,x z ==
2(0,1n = ．
1211127
cos ,8
||||n n n n n n ⋅<>===⋅
，
所以二面角B-A 1P-F 的余弦值是7
8
-
．。