2
d=0.6l即是小球能绕钉子为中心绕圆轨 道运动的AB距离的最小值．
v2 mg m l d 3 联解得 d l 0.6l 5
3.2. 1. 对功的概念有下列几种表述法： (1)．质点经过一闭合路径，保守力对质点做的功等于零； (2)．作用力与反作用力大小相等，方向相反，所以两者所做 功的代数和必为零； (3)．保守力做正功时，系统的相应的势能增加. 在这些表述中:(A)．(2)(3)正确； (B)．只有(2)正确； (C)．只有(3)正确；(D)．(1)(2)正确；(E)．只有(1)正确． 解：保守力做功与路径无关， C A C C F dr F dr F dr F dr F dr 0
h sin Af f s f Fh mgh cot ) sin sin AW mg s mgs cos(900 ) mgh cos AF F s Fs cos Fh sin
f N (mg cos F sin )
dA (dm) g ( y2 y) Sg ( y2 y)dy
将整池水提升到地面需做的总功
A
y1 0
解法二：整池水的质心位置与地面间的高度距离为
1 2 Sg ( y2 y )dy Sg ( y2 y1 y1 ) 4.23 106 J 2
1.5m h (5.0m ) 5.75m 2 将整池水抽到地面需克服重力做功 A Sh水深 gh 4.23 106 J A 2 t 1 . 51 10 s (2) P 80% t A， 0.8P
ABCDA A B C D A B A D
作用力与反作用力做功，不仅取决于力，还取决于力的作 用点的位移．（2）错误． 据势能定理 E p A保内 ，保守力做正功时，势能增量为负 值．(3)错误．
3.2. 4. 如图所示，质量为m的物体A，迭放在质量为M的物体B 上，当用一水平力F拉物体B向右运动时，如果A、B之间无相 对运动，A物体在B物体上的摩擦力fAB作用下与B物体一起向右 移动了一段距离，则静摩擦力： (A)．作了负功； (B)．作了正功； (C)．不能够做正功；(D)．做功为零． 解：A物体受到的静摩擦力与它相对于地的位移方向相同，做 正功，(B) 。 A和B物体受到的静摩擦力大小相等，方向相反，相同的位移， 则静摩擦力做功为零，（D）。
3.1.1. 如图所示，一质量为m的物体，位 于质量可以忽略不计的直立弹簧上方高度 为H 处，该物体从静止开始向弹簧下落， 如果弹簧的劲度系数为k，不考虑空气阻 力，则物体可能获得的最大动能为 ________________．
解：物体重力与弹簧弹力相平衡时，动能最大.
mg x k mg ( H x) E 1 kx2 km 2
3.2. 5. 如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧 水平放置，其左端固定，右端与桌面上放 置的一质量为m的木块连接，木块与桌面间的摩擦系数为μ．当 用水平力F拉着木块处于静止时，则弹簧的弹性势能值： ( F mg ) 2 ( F mg ) 2 F2
( A).必定为
(D).根据木块达到静止状态的不同情况，可以取以上三个答案 中的任何一个． 解：设弹簧伸长量为x，则当F>kx时，木块受到的静摩擦力向左.
v2 k (l l0 ) mg m l gl (l l0 ) 联解得 v 3.83m.s 1 2l l0
3.3.12．如图所示，A点是一单摆的悬点，B点 处是一固定的钉子，在A点的竖直下方．AB的 长度是d，单摆的摆长是l．试证明：为了使摆球 从水平位置放下后摆绳能够以钉子为中心绕一 圆周轨道旋转，则d至少应等于0.6l． 解：摆球运动过程中机械能守恒．设摆球经过圆轨道最高点 的速率为v，则 小球刚好能经过圆轨道最高点时，据牛顿第二定律有
F mg F F f x , 0 f mg, k k k 2 2 1 ( F mg ) F E p kx2， Ep 2 2k 2k
2k
； ( B).必定为
2k
(C ).必定为
2k
；
x
当F<kx时，木块受到的静摩擦力向右．
F F mg F f 0 f mg, x x , k k k 1 2 F2 ( F mg ) 2 E p kx ， Ep 选D 2 2k 2k
Ekm
m g mgH 2k
2
2
3.1.5. 如图所示，一人造地球卫星绕
地球做椭圆运动，近地点为A，远地点 为B．A、B两点距地心的距离分别为 r1和r2，设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，则 卫星在A、B两点处的引力势能之差 E pB E pA ____________, 卫星在A、B两点处的动能之差 EkB EkA ____________ ．
3.3.6．一地下蓄水池，面积为50m2，储水深度为1.5m，假定水 平面低于地面的高度是5.0m，试求：(1)如果要将这池水全部 吸到地面，需做功多少？(2)如果抽水机的效率是80%，输入 功率是35kW，则需多长时间可以抽完？ 解:(1) 如图所示，厚度为dy的水层的质量 dm Sdy 将此水层提升到地面需克服重力做功
解：引力势能之差 E pB E pA G 系统机械能守恒： 动能之差
EkB EkA E pA E pB GMm( 1 1 ) r2 r1 Mm Mm 1 1 (G ) GMm( ) r2 r1 r1 r2
3.1.7 ．如图所示，一斜面倾角为θ，用与斜面成 β角的恒力F将一质量为m的物体沿斜面上拉，物 体上升的高度为h，物体与斜面间的摩擦系数为μ， 在此过程中摩擦力做的功 Af=________________________，重力所做的功 Aw=————————————，F所做的功 AF=————————————． 解：N mg cos F sin
3.3.10．如图所示，有一小球系在轻质弹簧的一 端，弹簧的另一端固定在O点，该弹簧的原长为 l0=0.8m．起初弹簧位于水平位置并保持原长， 然后释放小球，使它沿竖直平面落下当弹簧过 竖直位置时，被拉长为l=1m．试求：该时刻小 球的速率．
解：系统机械能守恒．
小球经最低点时，据牛顿第二定律有
1 1 2 mgl k (l l0 ) mv 2 2 2