d
x
(d) d微x 段伸长： d l FN x dx
FN x dx (e)总伸长： l l d l EA 0
x
dx
需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。
19
计算拉压杆变形的第二种方法——载荷叠加法
☺ 几组载荷同时作用所产生的总效果，等于各组
载荷单独作用产生的效果总和。
20
载荷分解的方式
EA
EA
总伸长为
l
l d l
l qxdx ql 2
0
0 EA 2EA
18
例：已知 q,l, E, A，求l ?（续）
qx
(2) q q 为x变量
解：(a)取长度为x的杆段为分离体；
l
(b)分离体内再取微段d，微段载荷
d
FN x
dF x q d
(c)轴力
FN
x
x
0
dF
x
x
0
q
当退化到各向同性弹性体时得到两个弹性常数。但柯 西认为纳维的单常数理论才是正确的。
1829年，泊松用纳维—柯西方法讨论板的平衡问题 时
指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应
变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为-x， 并证明=1/4。纳维—柯西—泊松的单常数理论
7
1833年，格林研究电磁波在弹性介质表面上的反射 与
4F (D2 d2)E
ds
4Fd
(D2 d 2)E
d
u
4Fd (D2 d2)E
d
D D 4 FD D2 d2 E
12
F
F
D
d
d
u
4Fd (D2 d2)E
d
D D 4 FD D2 d2 E
圆管横截面积变不变？
A (D2 d2)
4
A (D2 d 2 )(1 )2
材料力学分析的基本过程
外力
结构
内力 应力
材料性能 强度准则
变形 应变
1
轴向拉压变形
§3-1 §3-2 §3-3
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移
2
§3-1 引言
1 2 34
5
A
A
F
F
思考：为什么要研究变形？下述问题是否与变形相关？
•各杆内力？ •A点位移? 是否与力F 同方向？
8
常见材料的性能参数
对于各向同性材料，弹性模量E、泊松比 与剪切模量G
存在如下关系：
G E
2(1 )
9
➢ 关于横向变形的两点说明
F
F
b
b1
l l1
横向应变中的横向：横截面上任意一点沿面内任意方向
F
F
泊松比：对于大多数各向同性材料0<<0.5 铜泡沫： = －0.39
10
例：已知E，μ，D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
b
b1
l l1
杆件受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化。
纵向变形：杆件沿轴向或载荷方向的变形 横向变形：垂直于轴向或载荷方向的变形
4
F
F
b
b1
l l1
➢ 拉压杆的轴向变形与胡克定律
l F
FN
A
l
l
E
线弹性范围适用
l FNl
EA
拉压刚度
5
➢ 拉压杆的横向变形与泊松比
F
4
圆管体积变不变？
V (D2 d2)L
4
V (D2 d 2 )L(1 )(1 )2
4 13
V (D2 d2)L
4
V (D2 d 2 )L(1 )(1 )2
4
4
(D2
d
2
)L
1
(1
2 )
o(
2
)
V (1 2)
V
一般情况下，材料受拉体积会增加，所以我们推断泊松比 小于0.5。橡胶与石蜡是两种受拉时体积几乎无变化的材料， 因此其泊松比接近于极限值0.5。另一方面，软木的泊松比 接近于0，即拉伸时横向几乎不收缩。
步骤：1、分段求轴力；(截面法)
2、分段求变形；
3、求代数和。
分段求变形
l
FNi li Ei Ai
16
长度分解计算变形然后叠加
17
例：已知 q,l, E, A，求l ?
(1) q为常量
qx
解：距端点x处截面的轴力为
l
q
FN x
x
dx
FN x qx
dx 微段伸长
d l FN x dx qxdx
23
F
F
F
F1 F2
F1
F2
l1
l
l2
l
l1
l2
l
材料线性问题，l* l1 l2 , 叠加原理成立。
14
矢量推力结构设计+橡胶材料本构模型
W Cij (J1 3)i (J 2 3) j i, j0
W
n
n n
(1 n
2n
3 n
3)
15
➢ 多力杆的变形与叠加原理 (superposition principle)
F1
F1+F2
F2
A
B
C
求整段杆的变形： ——变形叠加法
方法：分段求变形，再相加。
F1
F1+F2
F2
l1
l2
= F1
F1
F2
+
F2
l l1 l2
F1l1 F2l2 EA EA
注意：分解后须保持构件平衡
21
叠加原理：几个载荷同时作用所产生的 总效果，等于各载荷单独作用产生的效 果的总和。
叠加原理的适用范围 *材料线弹性 *小变形 *结构几何线性
22
➢ 从数学上理解叠加法
折射时，首次用能量法证明，各向同性弹性材料的应 变许能多函人数进中行应试当验包来括验两证个泊弹松性比常为数1/。4的理论结论
维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3； 基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237;
1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。
F
b
b1
l l1
b b1 b
b
b
横向正应变
试验表明：在比例极限内，横向正应变与轴向正应变成正比
一般 与 符号相反。
定义：
泊松比
6
➢ 关于泊松比
1821年，纳维首次用分子理论研究各向同性弹性体 的 平1衡82问5题年，，其柯基西本把方纳程维中的只理包论含推一广个到弹各性向常异数性。弹性体，
F
F
D
d
思考：当圆管受拉时，外径 减小，内径增大还是减小？
11
例：已知E， μ， D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
解：
F
4F
4F
E AE D2 d 2 E
D2 d2 E
先求内周长,设ds 弧长改变量为du, du / ds
du ds
u
d
0
ds
d 0
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 x2 ) f (kx) kf ( x)
当函数是线性函数时，叠加原理成立
l Fl , l l, F
EA
E EA
小变形
材料线弹性
1、线弹性：物理线性——应力与应变的关系
2、小变形：几何线性——用原始尺寸进行受力分析 (几组外力之间没有耦合作用)