转 换
an wn an1wn1 an2 wn2 ..... a1w a0 0
3、采用修正劳斯判据判断系统的稳定性
17
第一列 元素为正 系统稳定
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劳斯—胡尔维茨稳定判据
• 若劳斯行列表第一列各元素严格为正， 则所有特征根均分布在左半平面，系统 稳定。 • 若劳斯行列表第一列出现负数，系统不 稳定。且第一列元素符号变化的次数， 即右半平面上特征根个数。
第四章 计算机控制系统的特性分析
4.0 概述 4.1 计算机控制系统的稳定性 4.2 计算机控制系统的动态特性 4.3 计算机控制系统的稳态误差 4.4 离散系统的根轨迹和频率特性
1
• 计算机控制系统要想正常工作，首先要 满足稳定性条件，其次还要满足动态性 能指标和稳态性能指标，这样才能在实 际生产中应用。对计算机控制系统的稳 定性、动态特性和稳态误差进行分析是 研究计算机控制系统必不可少的过程。
w( z) an z an1z
n
n1
an2 z
n 2
..... a1z a0 0
1
21
22
朱利判据稳定性条件
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(4)修尔-科恩稳定判据 该判据提供了一种用解析法判断离散系统稳定性的途 径。设离散控制系统的特征方程为
w( z) an z an1z
n
n1
4
s 域到 z 域的映射关系
s j ze
T
sT
e
( j ) T
e e
T
jT
e (cosT j sin T )
z的模为z e 其相角为z T
5
T
s 平面的左半部对应于z 平面的单位圆内
s 平面的右半部分对应于z 平面单位圆外 s 平面的虚轴对应于z 平面的单位圆
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二次特征方程稳定性的z域直接判定法
系统的特征方程为
w( z ) z a1 z a0
2
a1和a0均为实数 稳定性判据为： （ 1 ） W (0) a0 1 （2）W (1) 1 a1 a0 0 （3）W (1) 1 a1 a0 0
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朱利判据
分析或设计一个控制系统，稳定性历来是 一个首要问题。对于连续系统和离散系统，所 谓稳定，就是指在有界输入作用下，系统的输 出也是有界的。如果一个线性定常系统是稳定 的，那么其对应的微分方程的解必须是收敛和 有界的。 在分析连续系统的稳定性时，主要根据是 系统传递函数的极点是否都在 S 平面的左半部 分布。若有极点出现在平面的右半部，则系统 不稳定。
2
4.1
计算机控制系统的稳定性
1. 线性离散控制系统的稳定性条件
s域到z域映射关系 线性离散控制系统稳定的充要条件
2. 线性离散控制系统的稳定性判据
修正劳斯-胡尔维兹稳定判据 二次特征方程稳定性的z域直接判定法 朱利判据 修尔—科恩稳定判据
3
1. 线性离散控制系统的稳定性条件
2
9
10
s 域到 z 域的映射关系例题
如图，在S平面上有3个点，分别为
s1 1, s2,3 1 j10若采样角频率 s 10
试求它们影射到Z平面上的点
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解：采样周期
2 T S 10
2
z1 e
s1T
e
1*
2 10
0.5330
2 j ) 10 2 j ) 10
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修正劳斯一胡尔维茨稳定判据
1、系统分析
求出系统开环传递函数G（Z） 求出系统闭环传递函数 ( z ) 求出系统特征方程
1 w (T / 2) w 2、采用双线性变换 z 1 w 或 z 1 1 (T / 2) w 到w域
w( z) an z n an1z n1 an2 z n2 ..... a1z1 a0 0
an2 z
n 2
..... a1z a0
1
把系数a0 , a1,…an写成如下所示的行列式形式:
24
an 是 an 的共轭值，△ k(k=1，2，3，…) 是一个有 2k 行和 2k 列的行列式。
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修尔一科恩稳定判据稳定条件:
修尔一科恩稳定判据的两个特例： 2 2 a z a 0 a a 1、当系统特征方程为 1 判据为 0 1 0 2 2、当系统特征方程为 w( z ) z a1 z a0 判据为 二次特征方程稳定性的z域直接判定法
z2 e z3 e
s 2T
e e
( 110
0.5332 0.533 2
12
s3T
( 110
(2)线性离散控制系统稳定的充要条件
线性离散控制系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程 的所有根的模|z|<1，即闭环脉冲传递函数的极点均位于 z平面的单位圆内。
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2.线性离散系统的稳定性判据 (1)修正劳斯一胡尔维茨稳定判据
双线性变换1
z 1 1 w w z z 1 1 w
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z平面与w平面映射关系
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双线性变换2 1 (T / 2) w z 1 (T / 2) w
2 z 1 2 1 z 1 w T z 1 T 1 z 1
z e j T
2 e j T 1 2 e j T / 2 e j T / 2 j T T e 1 T e j T / 2 e j T / 2 2 T j t an T 2 w平面频率和 s平面频率转换 2 T w t an T 2 s平面频率和 w平面频率转换 wT 2 arct an T 2
6
S 平面垂直直线对应于z 平面的圆周， s 平面 的虚轴对应于z 平面的单位圆
7
S 平面水平直线对应于z 平面具有相应角度的直线 s / 2 时，正好对应z 平面的横轴
8
S 平面的等 阻尼线对应于z 平面的螺旋线
对于二阶振荡系统 s 2 2n s n 0 ，在S平面上等 阻尼线为通过原点的射线且 cos ，在z 平面上为螺 旋线。
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控制系统稳定性判断实例

1、利用稳定性判据判定系统在不同T及k时的稳定性、并 讨论系统开环放大系数K及采样周期T对系统稳定性的影 响。 2、确定在不同采样周期T时使系统稳定的临界放大倍数K