重点掌握函数的大致图象、对称轴、顶点坐标、开口方向、函数值的增减性及最值
《二次函数》知识结构图
二次函数
二次函数表达式的五种形式
二次函数的定义
注意二次函数判别和定义正逆考查
二次函数的图象和性质
熟悉以下四种函数图象的画法及性质， 特别注意它们之间的变化过程
数形结合思想
（1）y=ax 2
(2)y=ax 2+c
(3)y=a(x-h)2
(4)y=a(x-h)2+k
注意a,b,c 的正负性对函数图象性质的影响
注意四种函数图象是如何通过平移而成的
二次函数的实际应用
1.用二次函数解决实际问题
2.二次函数最值的应用
（1）最大利润问题（2）面积最值问题
二次函数的表达方式
1.列表法
2.图象法
3.解析式法
（1）确定方法：待定系数法一元二次方程与二次函数的关系
1.表达式上的转化关系
2.方程与图象的关系：记熟关系表。

3.交点的应用
（1）抛物线与坐标轴的交点
（2）一次函数与抛物线的交点
4.方程与抛物线关系的实际应用
（2）注意把握三种设解析式 方法的运用情形
《二次函数》题型全解读1 二次函数的概念
【知识梳理】
1.定义：一般地，若两个变量，x,y 之间的对应关系可以表示成是常数，a ≠0,b,c 可以为零)．那么
y 叫做x 的二次函数.其中ax 2,bx,c 分别是二次项、一次项
和常数项，a,b 分别是二次项系数、一次项系数。

2. 二次函数各种形式之间的变换 （1）二次函数c bx ax y
++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中.
（2）y =ax 2+bx +c (a ≠0)是二次函数的一般式，它还有以下几种特殊形式：①2ax y =；
②y =ax 2+c ； ③y =ax 2+bx ；④()
2
h x a y
-=；⑤. ()k h x a y
+-=2
【典型例题】
例1. 下列函数中是二次函数的有（ D ）
①y=x ＋1x
；②y=3（x －1）2
＋2；③y=（x ＋3）2
－2x 2
；④y=1
x
＋x ．⑤c bx ax y
++=2;⑥
y =(x −1)2−(x +1)(x −1);⑦y =x 2;⑧y =x(1−x) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例2. 函数y =(m +2)x m
2−2
+2x −1是二次函数，则m= ．m=2
例3．已知函数y=ax 2
＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，
b 时，是一次函数；当a ，b ，
c 时，是正比例函数．(a ≠0;a =0,b ≠0;a =0,b ≠0,c =0)
例4.已知函数y =(m 2−m )x 2+(m −1)x +2−2m
c b a c bx ax y ,,(2
++=
（1）若这个函数是二次函数，m的取值范围是___________(m≠0,m≠1) （2）若这个函数是一次函数，m=________(m=0)
（3）这个函数可以是正比例函数吗？(m不存在，不可能是正比例函数) 《二次函数》题型全解读2 二次函数图像与性质【知识梳理】
一.二次函数的五种图像及性质
y
x
O
顶点坐标 (ｈ,0) 开口方向 开口向上
开口向下
开口大小 |a |越大，开口越小
顶点坐标
(ｈ,0)
函数的增减性 当x >ℎ时，y 随x 的增大而增大
当x <ℎ时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当x >ℎ时，y 随x 的增大而减小 当x <ℎ时，y 随x 的增大而增大
（开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值 当x =h 时，y 有最小值c 当x =h 时，y 有最大值为c
平移规律
y =a(x −ℎ)2图象是由
2ax y 图象按“左加右减”的规律平移|h|个单
位而成
y =a(x −ℎ)2+k 的图像及性质
＞0
＜0
大致图象
对 称 轴 x =h 顶点坐标
(h,k )
开口方向 开口向上
开口向下
开口大小
|a |越大，开口越小
函数的增减性
当x >ℎ时，y 随x 的增大而增大
当x >ℎ时，y 随x 的增大而减小
a a
y
x
O
当x <ℎ时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当x <ℎ时，y 随x 的增大而增大 （开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值
x=h 时，y 有最小值为k
当x=h 时，y 有最大值为k
平移规律
y =a(x −ℎ)2+k 的图像是由
2ax y 图象按按“左加右减”的规律平
移|h|个单位，再按“上加下减”的规律平移|k|个单位而成
y =ax 2+bx +c 的图像及性质
＞0
＜0
大致图象
对 称 轴
x =−
b 2a
顶点坐标
(−b 2a ,4ac −b 24a
) 开口方向 开口向上
开口向下
开口大小
|a |越大，开口越小 函数的增减性
当x >−
b
2a
时，y 随x 的增大而增大 当x <−
b
2a
时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当x >−
b
2a
h 时，y 随x 的增大而减小 当x <−
b
2a
h 时，y 随x 的增大而增大 （开口向上，函数对称轴为界左增右减）
a a
二.二次函数图像性质与系数的关系
三.二次函数图像的平移
平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；
左加右减须牢记，上加下减错不了”
注意：
①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a （x ﹣h ）2
+k
②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。

四.（补充）二次函数过定点问题
例1：已知y=x ²+kx-2k 通过一个定点,这个定点的坐标是__________
（1）a 决定开口方向及开口大小.
│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y 轴， │a│越小，开口越大，图像两边越靠近x 轴（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.
抛物线y=ax 2
+bx+c 的对称轴是直线y=-b 2a
口诀:同左异右
（3）c 的大小决定抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交点的位置 交点坐标:(0,c)
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.
如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则b
a
∠
0.
解析:题意是k为任何值时,都不会影响抛物线过这个定点,即定点的X和Y值,与K的取值无关.
方法一:特殊值法,取K=1和-1,解出X=2,Y=4,则定点即为(2,4)
方法二: y=x²+kx-2k=x²+(x-2)k,当X=2时,K无论取何值,都不影响Y值,即定点为(2,4) 例2.无论p取任何实数,抛物线y=2x²-px+4p+1都通过一个定点,求此定点解析:y=2x²-（4-x）p+1，显然，x=4时，p取多少，y都是33。

即过点（4，33）。

例3.某数学小组研究二次函数y=mx²-2mx+3的图像发现,随着的变化,这个二次函数的形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图像总经过两个定点,
解析: y=mx²-2mx+3=mx(x-2)+3,X=0或,X=2时,Y值与M的取值无关,所以定点为(0,3),(2,3)
解法:二次函数过定点或与某个字母取值无关,先把带有该字母的所有项合并,再让该字母前所有的式子等于零,即可
题型解读1 二次函数图像认识题型
【解题方法】
熟悉五种二次函数图像与性质
【典型例题】
1．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）C
A. 开口向下
B. 对称轴是x=﹣1
C. 顶点坐标是（1，2）
D. 与x轴有两个交点
2．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）,对称轴是____________________直线x=1 3．二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）D
解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x﹣1），则它的图象一定过点（1，1）
x2共有的性质是（）B
4．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=1
2
A. 开口向下
B. 对称轴是y轴
C. 都有最低点
D. y随x的增大而减小
5．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）D
A．6 B．5 C．4 D．3
解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．
6．对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ D ）
A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（2，1）D．抛物线与x轴没有交点。