2/7
A′
r
r
r/2
A
r/2
r/ 2
B′
r/ 2 r
r
B
继而再简化成如图所示的电路 : A′
r
r/2
最后可算得 :
2 RAB=（
2 ）1
5 r
r 5r
12
即有 RAB=5R/48.
A r/ 2 B
B′ r
如图所示，无限旋转内接正方形金属丝网络由一种粗细一致、材
料相同的金属丝构成，其中每个内接正方形的顶点都在外侧正方
R 'AB
R0 4R 0.8R . R0 4R
4R 时 ,则 :
有一无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所 示．所有六边形每边的电阻均为 R0．
(1) 求结点 a、 b 间的电阻． (2) 如果有电流 I 由 a 点流入网络，由 g 点流出网络，那幺流过 de 段电阻的电流 I de 为多大 ?
形四边中点上．已知与最外侧正方形边长相同的同种金属丝
A'B'
的电阻为 R0，求网络中：
(1)A 、C 两端间等效电阻 RAC．
(2)E 、G两端间等效电阻 REG．
例 1. 如图所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为
ρ，一连串内接等边三
角形的数目可认为趋向无穷，取 AB 边长为 a，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框
2，相当于
将原电路沿 AB 折叠，电阻变粗，电阻值减半。
如果电阻就在对称轴上，相当于是中间一条支路上的电阻，则折叠过程中不受影响
（2） AB 中垂线的两侧具有不完全的对称性。
虽然电阻网络的分布是对称的，但是电路中电势的分布是不对称的，一边高一边低。
由这种不完全的对称性可以得到：
<1> 中垂线上各点电势相等 ①等电势的点之间，可以用导线任意连接
12.1 欧姆定律
一、电阻的大小
1、电阻的计算式（欧姆定律）
U R
I
2、电阻的决定式（电阻定律）
l R
S
微观解释：
电阻产生的原因，是定向移动的自由电子与原子核碰撞。
长度越长，碰撞概率越大
横截面积越大，碰撞概率越小
3、电阻率与温度的关系：
0 (1 t )
微观解释：
对于金属：温度高，分子热运动剧烈，碰撞概率大，电阻升高，
（节点移
4、电流注入法
用均匀电阻线做成的正方形回路，如图，由九个相同的小正方形组成．小 正方形每边的电阻均为 r=8 ．(1) 在 A、B两点问接入电池， 电动势 E=5.7V， 内阻不计，求流过电池的电流强度． (2) 若用导线连接 C、D两点，求通过 此导线的电流 ( 略去导线的电阻 ) ．
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应该有
3I A 6I B I
因为 b、d 两点关于 a 点对称，所以
1
I I de
be
IA
2
同理，假如有电流 I 从四面八方汇集到 g 点流出，应该有
I I de
B
最后，根据电流的叠加原理可知
1
1
1
I de
I de
I de
IA IB
3I A 6I B
I
2
6
6
如图，有一三角形的无穷长 电路其中每个电阻阻值均为 R， 求 AB 间的等效电阻 RAB 。
α 为正值
对于绝缘体：温度高，更多电子挣脱束缚，成为自由电子，电阻降低，
α 为负值
二、网络电阻的化简
1、利用电路的对称性进行折叠、翻转、合并拆分
（1）设网络电阻的两端点为 A 和 B 。 AB 的这根对称轴两侧的对称是“完全对称” 。
可以看成是两条支路并联，因此只需计算一条支路的电阻，并将总电阻除以
上述电源同时加上 ,则由叠加原理可知 ,流过 AB 的电流为 I
I
I .设 AB 间的等效电阻为
442
RAB，所以：
I
IR AB
R 2
R RAB
2 外的其它电阻丝构成的网络的电阻为
R0，则整个电阻可以看成是除 A、 B 间电阻丝与
R0 的并联 .则 :
RAB
R0 R R
R0 R 2
R0 R
当 A、 B 间的一小段电阻丝换成电阻为
②等势点间若存在电阻，则此支路上电流为
0，可将此支路断开
<2> 对称的支路上电流大小相等，因此可以将节点处的电路分离
2、利用电路的自相似性进行化简 弄清究竟谁和谁自相似 自相似性一般适用于半无限网络。 注意相似比的大小
3、等效电路
在不改变电路性质的情况下，可以对电路进行变形、
翻转，导线可以伸缩移动
动不能跨过电路元件） ，三维图形可以“压扁”为二维图形。
电阻丝无限网络如图所示， 每一段金属丝的电阻均为 B 两点间的等效电阻 RAB．
r ，试求 A、
由十二个相同的电阻连接成一个立方体框架，若每个电阻的阻值均为 点中的任意两个顶点测量时立方体的总电阻等于多少？
R 问从立方体八个顶
1. 三个相同的金属圈两两相交地焊接成如图所示的形状，
若每一金属圈的原长电阻 （即它
断开时测两端的电阻）为 R，试求图中 A、B 两点之间的电阻 .
A B
【解析】从图看出，整个电阻网络相对 A、B 两点具有上、下对称性，因此可上、下压 缩成如图所示的等效简化网络，其中 r 为原金属圈长度部分的电阻，即有 :
A′
r
r
r/2
A
r/ 2 O
r/2
B′
r/ 2
r
r
B
r=R/4 图网络中从 A 点到 O 点电流与从 O 点到 B 点的电流必相同；从 A′点到 O 点的电流与从 O 点到 B′点电流必相同 .因此可将 O 点断开，等效成图所示简化电路 .
【解析】（ 1）设有电流 I 自 a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有
I / 3 电流由
a 流向 c，有 I / 6 电流由 c 流向 b.再假设有电流 I 由四面八方汇集 b 点流出，那么必有 I / 6
电流由 a 流向 c，有 I / 3 电流由 c 流向 b.
将以上两种情况综合，即有电流 I 由 a 点流入，自 b 点流出，由电流叠加原理可知
解析 :设想内阻极大的电源加在 A 和地 (或无穷远 )之间 ,使由 A 点流进网络的电流为 I，则 由对称性可知 ,流过 AB 的电流为 I .假设拆去此电源 ,在 B 点和地 (或无究远 )之间加上另一内
4
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阻极大的电源 ,使由 B 点流出网络的电流强度为 I,由对称性可知 ,流过 AB 的电流仍为 I .若把 4
六个外形相同的电阻，用导线如图连接，已知其中五个电阻的阻值
R
均精确地等于 2 ，另一个阻值则与 2 有明显的差异．用欧姆表对
图示电路测量三次，就可以找出这个与众不同的电阻．试扼要说明测
量方法和论据．
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三、图像法解非线性电阻问题 “220V ， 100W ”的白炽灯泡 A 和“ 220V ， 60W ”的 白炽灯泡 B 的伏安特性曲线如图所示。 （1）将两灯泡串联在 220V 的电源上，求两灯泡的实 际功率 （1）将两灯泡并联在 220V 的电源上，求两灯泡的实 际功率
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II I I ac
3 6 2 （由 a 流向 c）
II I I cb
3 6 2 （由 c 流向 b） 因此， a、b 两点间等效电
I R I R ac 0
cb 0
R0
I
（2）假如有电流 I 从 a 点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设
I1 I4 I7 I A
I2 I3 I5 I6 I8 I9 I B
R Rx / 2
R Rx / 2
解此方程得到：
RAB Rx
71 1
R ( 7 1)a
3
3
如图所示是一个由电阻丝构成的平面正方形无穷网络，各小段的电阻为
R，求 A、 B 两
点间的等效电阻 .若将 A、B 间的一小段电阻丝换成电阻为 4R 的另一小段电阻丝 .试问换后 A、
B 间的等效电阻是多少 ?
AB
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架上 A、B 两点间的电阻为多大？
A
B
从对称性考虑原电路可以用如图所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为
RAB 的电 2
阻器来代替由无数层 “格子”所构成的“内”三角，并且电阻是 RAB 这样的， RAB Rx ，R
因此
R/ 2 R/ 2
Rx / 2 R/ 2
R/ 2
A
B
R
Rx R(R RRx / 2 ) (R R RRx / 2 )