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中北大学概率统计习题册第五章完整答案(详解)

1. 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2
()D X σ=,则由契比雪夫不等式
{}≤
≥-σμ3X P 1
9。

2. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,相关系数为0.5,则根据契比雪夫不等式{}

≥-6Y X P 1
12。

3. 在一次试验中,事件A 发生的概率为2
1

利用契比雪夫不等式估计是否可以用大于0.97的概率确信,在1000次独立重复试验中,事件A 发生的次数在400~600的范围内? 解: X 表示在1000次重复独立试验中事件A 发
生的次数,则1~1000,2X B ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.于是:
1
()1000500,
2E X np ==⨯=11
()100025022
D X =⨯⨯=
(400600)(500100)P X P X <<=-<
2
250
(100)10.975100
P X EX =-<≥-=.因此可以用大于0.97的概率确信,在1000次独立重复试验中,事件A 发生的次数在400~600的范围内.
4.用契比雪夫不等式确定当掷一均匀铜币时,需投多少次,才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6 之间的概率不小于90%? 解:设n μ表示掷n 次铜币正面出现的次数,则1(,)2n
B n μ,1()2n E n μ=,1()4
n D n μ=
{0.40.6}{
0.50.1}n
n
P P n
n
μμ≤
≤=-≤
2()
25110.90.1n
D n n
μ≥-
=-≥250n ⇒≥ 注:事实上,由中心极限定理
{0.40.6}{0.40.6}n
n P
P n n n
μμ

≤=≤≤≈
Φ-Φ
(210.9=Φ-≥
(()0.95 1.96Φ≥=Φ 1.96≥
解之得 96.0365n ≥,所以,至少需投掷97次,才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6 之间的概率不小于90%。

5.一个复杂的系统,由100个相互独立起作用的部件所组成,在整个运行期间,每个部件损坏的概率为0.1,为了使整个系统起作用,至少需85个部件工作,求整个系统工作的概率。

解:设整个系统中有X 个部件能正常工作,
则()~100,0.9X B ,系统工作的概率为
()()85
184P X P X ≥=-≤ 1≈-Φ
()()1220.9772=-Φ-=Φ=
6.设 ,,,,21n X X X 为独立随机变量序列,且(1,2,
)i X i =服从参数为λ的指数分
布,试求:⎪⎪⎭

⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞
→x n n X P n i i n 1lim λ。

解:因i X 服从参数为λ的指数分布,故:
211,.i i EX DX λλ==
2
11
(),().
n
n
i i i i n
n
E X D X λ
λ
===
=
∑∑
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞
→x n n
X P n i i n 1lim λ lim n i n n
X P x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪
=
≤⎬⎪
⎪⎭∑ lim n n i i n X E X P x →∞⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪=≤⎬⎪
⎪⎭
∑∑
2
2
d ()t x t x -==Φ⎰
.。

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