专题训练－常见数列的求和德阳二中 谢超强 在前面，我们学习了如何求等差数列和等比数列的前n 项和。

下面介绍既非等差数列又非等比数列的某些数列前n 项和的求法。

一、分组求和法某些数列，通过适当的分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，得出原数列的和。

例1：求数列311，912，2713，…，)31n n +（，…的前n 项和。

解：n S ＝311＋912＋2713＋…＋)31n n +（＝（1＋2＋3＋…＋n ）+)312719131(n ++++=311)311(312)1(--++n n n =)311(21)1(21n n n -++二、聚合法有的数列表示形式较复杂，每一项是若干个数的和，这时常采用聚合法，先对其第n 项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式，再采用分组求和。

例2：求数列 ,2221,,221,21,1122-+++++++n 的前n 项和。

解：∵122121222112-=--=++++=-n n n n a ∴n n a a a a S ++++= 321=)12()12()12()12(321-++-+-+-n=n n-++++)2222(321=2221)21(21--=---+n n n n 三、裂项相消法这种方法是先把数列的第n 项n a 分裂为几项的代数和，从而改变数列的形式，以便可以进行消项处理，进而达到解决问题的目的。

例3．求数列,)1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯⨯n n 的前n 项和。

解：∵)111(6)1(6+-=+=n n n n a n∴n n a a a a S ++++= 321＝)111(6)4131(6)3121(6)2111(6+-++-+-+-n n ＝16)111(6+=+-n nn 四、倒序法等差数列前n 项公式的推导，是先将和式中各项反序编排得出另一个和式，然后再与原来的和式对应相加，从而求得等差数列的前n 项和，这种方法就是倒序法。

例4．已知函数f(x)满足对一切实数x ，有21)1()(=-+x f x f ，记++=)1()0(nf f a n )()1()2(nnf n n f n f +-++ ，求n a 。

解：∵++=)1()0(n f f a n )()1()2(n nf n n f n f +-++∴)0()1()2()1()(f nf n n f n n f n n f a n +++-+-+=上两式相加，得)]0()([)]1()1([)]1()1([)]()0([2f n nf n f n n f n n f n f n n f f a n +++-++-+++=＝211212121个++++n＝21+n ∴41+=n a n五、错位相减法已知数列}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，则数列}{n n b a •的前n 项和一般采用错位相减法求。

其操作过程如下：∵n n n b a b a b a b a S ++++= 332211＝1112111111])1([)2()(--+++++++n qb d n a q b d a q b d a b a∴nn q b d n a q b d a q b d a q b a qS 1131121111])1([)2()(-+++++++=上两式相减，得：n n n q b d n a q db q db q db b a S q 111121111])1([)1(-+-++++=--＝n n q b d n a qq q q db b a 1122111])1([)1(-+-++++-＝n n q b d n a qq q db b a 111111])1([11-+---⨯+- ∴q q b d n a q q q db q b a S nn n --+---+-=-1])1([)1()1(11121111 例5．求数列 ,)12(,,5,3,112--n an a a 的前n 项和)1(≠a S n 。

解：12)12(531--++++=n n a n a a S ① ∴nn a n a a a aS )12(5332-++++= ② ①＋②，得nn n a n a a a S a )12(2221)1(12--++++=--＝n n a n aa a )12(1)1(212---++++-＝n na n aa )12(1112-----⨯∴a a n a a S n n n -+----=11)12()1()1(22练习题：一、基础训练 1．=+-++⨯+⨯+⨯)12)(12(1751531311n n （ C ） (A)122+n n (B)122-n n (C)12+n n (D)12-n n2．n +++++++++++ 321132112111＝（ B ） （A ）1+n n （B ）12+n n (C)n n )1(2- (D)12-n n3．数列}{n a 中，)34()1(1--=+n a n n ，其前n 项和为n S ，则1122S S -等于（C ）(A) -85 (B) 85 (C) -65 (D)65 4．数列,,21)12(,,815,413,211 nn -前n 项和是n n 2112-+。

5．数列9，99，999，…， 个n 9999，…的前n 项和是n n--)110(910 。

6．数列－1，4，－7， ),23()1(,--n n的前100项和是150。

7．求下列各式的和： （1）)13)(23(1741411+-++⨯+⨯=n n S n 解：)131231(31)7141(31)4111(31+--++-+-=n n S n ＝13)1311(31+=+-n nn （2）12121531311++-+++++=n n S n解：21212235213--+++-+-=n n S n ＝2112-+n （3）12321-++++=n n nx x x S 解：12321-++++=n n nx x x S ①n n nx x x x xS ++++= 3232 ②①－②，得 nn n nx x x x S x -++++=--121)1(当n nn nx xx S x x ---=-≠11)1(1时，， 2)1(321,1+=++++==n n n S x n 时当 二、能力提高8．已知数列,,1,,1,1,1122-+++++++n a a a a a a 求这个数列的前n 项和n S 。

解：n S a n ==时，当0；2)1(3211+=++++==n n n S a n 时，当； aa aa a a a a nn n --=++++=≠≠-1110112时，且当 ∴n n a a a a S ++++= 321＝aa a a a a a a n--++--+--+--1111111132 ＝)]([1132n a a a a n a++++-- ＝2)1()1(1]1)1([11a a a a n a a a n a n n ----=---- 9．设)(21,2411+++=-=n n n n n n a a a a b n a ，求数列}{n b 的前n 项和n S 。

解：]12121212[21]24242424[21+-+-+=+-+-+=n n n n n n n n b n ＝1211211)]1221()1221[(21+--+=+-+-+n n n n ∴ n n b b b b S ++++= 321＝)1211211()71511()51311()31111(+--+++-++-++-+n n ＝12)1(2121211++=++=+-+n n n n n n n n 10．设等差数列}{n a 中，2,11==d a ，依次抽出这个数列的第 ,3,,3,3,112+k 项，组成数列}{n b ，求数列}{n b 的通项公式及前n 项和n S 。

解：∵1322)13(11131-⨯=⨯-+==---k k k k a b∴)132()132()132(110-⨯++-⨯+-⨯=-n n S＝n n -+++-)333(2110＝1331312--=---⨯n n n n11．一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ；当n 为偶数时，22n n a =；求这个数列的前n 项和。

解：∵10]1)12(5[]1)12(5[1212=+--++=--+n n a a n n22222222222==++n n nn a a ∴ ,,,,1231-n a a a 构成首项是6，公差是10的等差数列，,,,,242n a a a 构成首项是2，公比是2的等比数列。

∴当n=2m 时，)()(2421231m m n a a a a a a S +++++++=-＝21)21(2)156(2--+++m m m＝)12(2)75(2-++m m m＝224785122-+++nn n 当n=2m ＋1时，)()(2421231m m n a a a a a a S +++++++=+＝21)21(2]1)1(56[21--+++++m m m ＝)12(2)125(21-+++m m m ＝22)1(47)1(85122-+++++nn n。