考查角度2 三种常用的数列求和方法分组转化法求和已知等差数列{a n }满足a 2=2,a 1+a 4=5. {a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b 1=3,b 2=6,{b n -a n }为等比数列,求数列{b n }的前n T n .利用已知条件求出等差数列{a n }的通项公式;(2)因为{b n n ,所以数列{b n }的前n 项和T n 可以看成数列{b n -a n }{a n }的前n 项和的总和.设等差数列{a n }的公差为d , {a n }满足a 2=2,a 1+a 4=5,∴{2=a 1+d ,5=2a 1+3d ,解得a 1=d=1, ∴a n =1+(n-1)×1=n.(2)设等比数列{b n -a n }的公比为q ,∵b 1=3,b 2=6, ∴b 1-a 1=3-1=2,b 2-a 2=6-2=4, ∴q=2.∴b n -a n =2×2n-1=2n , ∴b n =n+2n ,∴数列{b n }的前n 项和T n =(1+2+3+…+n )+(2+22+ (2))=n (n+1)2+2(1-2n )1-2=n (n+1)2+2n+1-2.从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和.错位相减法求和已知{a n }的前n 项和S n =4n-n 2+4. {a n }的通项公式;(2)求数列{7-a n 2n}的前n 项和T n .由{a n }的前n 项和求出数列{a n }的通项公式;(2)利用错(当n=1时要单独考虑).当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-n 2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n ; 1时,a 1=S 1=7.∴a n ={7,n =1,5-2n ,n ≥2.(2)令b n =7-a n 2n,当n=1时,T 1=b 1=7-721=0;当n ≥2时,b n =7-a n 2n=n+12n -1,∴T n =0+32+422+523+…+n2n -2+n+12n -1,12T n =322+423+524+…+n2n -1+n+12n , 两式相减得12T n =1+12+122+…+12n -1-n+12n=1-(12)n1-12-n+12n =2-n+32n ,∴T n =4-n+32n -1(n ≥2).当n=1时,满足上式. 综上所述,T n =4-n+32n -1.用错位相减法求和时,应注意:,特别是等比数列的公比为负数的情形; (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.分类透析三 a n =1n (n+k )型的裂项相消法求和已知数列{a n }为单调递增数列,S n 为其前n 项和,2S n =a n 2+n.(1)求{a n }的通项公式. (2)若b n =a n+22n+1·a n ·a n+1,T n 为数列{b n }的前n 项和,证明:T n <12.由递推公式2S n =a n 2+n 求出{a n }的通项公式;(2)先用裂项相消法求和,再进行适当放缩证明.当n=1时,2S 1=2a 1=a 12+1,即(a 1-1)2=0,解得a 1=1.又{a n }为单调递增数列,所以a n ≥1.由2S n =a n 2+n 得2S n+1=a n+12+n+1, 所以2S n+1-2S n =a n+12-a n 2+1,整理得2a n+1=a n+12-a n 2+1,所以a n 2=(a n+1-1)2.所以a n =a n+1-1,即a n+1-a n =1,所以{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n =n.(2)b n =a n+22n+1·a n ·a n+1=n+22n+1·n ·(n+1)=12n ·n -12n+1·(n+1),所以T n =(11-12)+(122×2-123×3)+…+[12n ×n -12n+1×(n+1)]=12-12n+1×(n+1)<12.用裂项相消法求和时,抵消后并不一定只剩下第一也有可能前面剩两项,后面也剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项.(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{a n }是等差数列,则1a n a n+1=1d (1a n-1an+1),1an a n+2=12d (1a n-1an+2).分类透析四 a n =√n+√n+k型的裂项相消法求和已知数列{a n }的首项为a 1=1,且(a n +1)a n+1=a n ,n ∈N *. (1)求证:数列{1an}是等差数列.(2)设b n =√a n a n+1√n+1+√n,求数列{b n }的前n 项和T n .通过递推公式(a n +1)a n+1=a n 证明数列{1a n}是等差数列;(2)将b n =√a n a n+1√n+1+√n裂项,再求和.由a n+1=a n a n +1,得1a n+1=a n +1a n=1a n+1,则1an+1-1a n=1,又a 1=1,所以1a 1=1.所以数列{1an}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1a n=n ,故a n =1n.又b n =√a n a n+1√n+1+√n=√1n (n+1)√n+1+√n=√n+1-√n√n (n+1)=√n -√n+1,所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=(1-1√2)+(1√2-1√3)+(1√3-1√4)+…+1√n -1√n+1=1-1√n+1.方法技巧 本题主要考查等差数列的定义与通项公式,以及裂项,属于中档难度题.常见的裂项技巧:(1)1n (n+k )=1k (1n -1n+k);(2)√n+k+√n =1k(√n +k -√n ); (3)1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1); (4)1n (n+1)(n+2)=12[1n (n+1)-1(n+1)(n+2)].此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.1.(2017年天津卷,理18改编)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q=d=2. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =an b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .由题意知a 1=b 1=1, a n =2n-1,b n =2n-1. (2)由(1)得c n =2n -12n -1,则T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1, ①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n. ②由①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n=3-2n+32n,故T n =6-2n+32n -1.2.(2015年全国Ⅰ卷,理17改编)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =(n3+r)a n ,且a 1=2.(1)求数列{a n }的通项公式. (2)设b n =1a 2n -1(n ∈N *),数列{b n }的前n 项和为T n .求证:T n ≥n 2n+1.∵Sn a n =13n+r ,a 1=2,∴a 1a 1=13+r=1,解得r=23.∴S n =n+23a n ,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n+23a n -n+13a n-1,化为a n a n -1=n+1n -1,∴a n =an a n -1·an -1a n -2·an -2a n -3·…·a3a 2·a2a 1·a 1=n+1n -1·n n -2·n -1n -3·…·42·31·2=n (n+1),当n=1时也成立,∴a n =n (n+1). (2)b n =1a 2n -1=1(2n -1)(2n -1+1)≥1(2n -1)(2n+1)=1212n -1-12n+1,∴数列{b n }的前n 项和为 T n ≥12(1-13)+(13-15)+…+12n -1-12n+1=12(1-12n+1)=n2n+1.∴T n ≥n 2n+1.3.(2014年全国Ⅰ卷,文17改编)已知等差数列{b n },正项等比数列{a n },a 1=b 1=1,a 2+b 2=7,且a 22=b 1(b 3+2).(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)-1)n b n +a n b 2n ,求数列{c n }的前n 项和T n .设等比数列{a n }的公比为q ,等差数列{b n }的公差为d ,由{a 22=b 1(b 3+2),a 2+b 2=7,得{q 2=3+2d ,q +1+d =7,解得{q =3,d =3或{q =-5,d =11.因为{a n }中各项均为正数,所以q=3,即d=3, 故a n =3n-1,b n =3n-2.(2)由(1)得c n =(-1)n (3n-2)+(6n-2)·3n-1,设数列{(-1)n (3n-2)}的前n 项和为A n ,数列{(6n-2)·3n-1}的前n 项和为B n .当n 为偶数时,A n =-1+4-7+10+…+[-(3n-5)]+(3n-2)=3n2;当n 为奇数时,A n =A n-1-(3n-2)=3n -32-3n+2=1-3n 2.又B n =4×30+10×31+16×32+…+(6n-2)×3n-1, ① 则3B n =4×31+10×32+16×33+…+(6n-2)×3n , ② 由①-②得-2B n =4+6(31+32+…+3n-1)-(6n-2)×3n=4+6×3-3n1-3-(6n-2)×3n =-5-(6n-5)×3n ,因此,B n =52+6n -52×3n .综上,T n ={3n+52+6n -52×3n ,n 为偶数,6-3n 2+6n -52×3n,n 为奇数.1.(2018新疆二模)在等差数列{a n }中,已知a 1+a 3+a 8=9,a 2+a 5+a 11=21.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若c n =2a n +3,求数列{a n ·c n }的前n 项和S n .设等差数列{a n }的公差为d , ∵{a 1+a 3+a 8=9,a 2+a 5+a 11=21,∴{3a 1+9d =9,3a 1+15d =21,解得{a 1=-3,d =2,∴a n =2n-5.(2)由(1)得c n =2a n +3=22(n-1)=4n-1,∴a n ·c n =(2n-5)·4n-1,∴S n =a 1·c 1+a 2·c 2+…+a n ·c n =-3×40+(-1)×41+1×42+…+(2n-5)×4n-1,4S n =-3×41+(-1)×42+1×43+…+(2n-5)×4n .两式相减得-3S n =-3×40+2×41+2×42+…+2×4n-1-(2n-5)×4n=-3+2×4(1-4n -1)1-4-(2n-5)×4n ,∴S n =179+6n -179×4n .2.(2018常德一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=2,(n+1)a n =2S n .(1)求数列{a n }的通项公式a n . (2)令b n =2(n+2)a n,设数列{b n }的前n 项和为T n ,求证:T n <34.由(n+1)a n =2S n ,得当n ≥2时,na n-1=2S n-1. (n-1)a n =na n-1, 即a n a n -1=n n -1,a n -1a n -2=n -1n -2,…,a 2a 1=21,利用累乘法,得a n a 1=n1,则a n =2n.当n=1时,a 1=2符合上式,故a n =2n. (2)由于a n =2n , 则b n =2(n+2)a n=1n (n+2)=12(1n -1n+2),T n =12(1-13+12-14+…+1n -1-1n+1+1n -1n+2) =12(1+12-1n+1-1n+2) =34-12(n+1)-12(n+2)<34.3.(2018海淀区二模)已知等差数列{a n }满足2a n+1-a n =2n+3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n +b n }是首项为1,公比为2的等比数列,求数列{b n }的前n设等差数列{a n }的公差为d , 2a n+1-a n =2n+3,所以{2a 2-a 1=5,2a 3-a 2=7,所以{a 1+2d =5,a 1+3d =7,所以{a 1=1,d =2.所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1.(2)因为数列{a n +b n }是首项为1,公比为2的等比数列, 所以a n +b n =2n-1. 因为a n =2n-1,所以b n =2n-1-(2n-1).设数列{b n }的前n 项和为S n , 则S n =(1+2+4+…+2n-1)-[1+3+5+…+(2n-1)]=1-2n 1-2-n (1+2n -1)2=2n -1-n 2.所以数列{b n }的前n 项和为2n-1-n 2.4.(厦门第一中学2017届高三上学期期中考试)设递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知2(a n +a n+2)=5a n+1,且a 52=a 10.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ;(2)设b n =S n ·log 2a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n .设等比数列{a n}的公比为q,a n+a n+2)=5a n+1,得2q2-5q+2=0,或q=2.解得q=12因为{a n}为递增数列,所以q=2.又由a52=a10知,(a1q4)2=a1q9,所以a1=q,所以a1=q=2,a n=2n,S n=2n+1-2.(2)b n=S n·log2a n+1=(2n+1-2)(n+1)=(n+1)·2n+1-2(n+1),记数列{(n+1)·2n+1}的前n项和为P n,则P n=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2n+1,2P n=2×23+3×24+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2,两式相减得-(n+1)·2n+2=-n -P n=23+(23+24+…+2n+1)-(n+1)·2n+2=23+23(2n-1-1)2-1·2n+2,即P n=n·2n+2.又数列{2(n+1)}的前n项和为2[2+3+4+…+(n+1)]=n(n+3), 所以T n=n·2n+2-n(n+3).。