浅谈韦达定理的应用齐贤学校 匡双霞 【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。

国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。

消息传开，数学界为之震惊。

同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。

你了解韦达定理吗?的应用：1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。

2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。

3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。

4. 一元二次方程的验根。

5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。

6. 与判别式的综合应用。

【中考真题欣赏】例1 (2001年河南省)已知关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,•y 1,y 2是关于y 的方程y 2+(2-b)y+4=0的两个根,二次方程.解析 ∵关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △ = (4b)2 -4×4×7b=0, 即b 2-7b=0. ∴b 1=0, b 2=7.当b=0时,,关于y 的方程化为y 2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解.当b=7时,关于y 的方程可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=4,y 2=1.y 2-3y+2=0.点评本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视.例 2 (2001年四川省)已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程4x 2+4(m-1)x+m2=0•的两个非零实数根,问x 1与x 2能否同号?若能同号,求出相应的m 的取值范围;•若不能同号,请说明理由.解析 ∵关于x 的一元二次方程4x 2+4(m-1)x+m 2=0有两个非零实数根,∴△ = [4(m-1)]2 -4×4m 2=-32m+16≥0,∴m ≤ 12.又x 1,x 2是方程4x 2+4(m-1)x+m 2=0的两个实数根.∴x 1+x 2=-(m-1),x 1·x 2=14m 2假设x 1,x 2同号,则有两种可能: ①若x 1>0,x 2>0,则⎩⎨⎧+0x x 0x x 2121 即2(1)0,10.4m m -->⎧⎪⎨>⎪⎩∴m<1且m≠0,此时,m≤12且m≠0; ②若x 1<0,x 2<0则有⎩⎨⎧+0x x 0x x 2121 即2(1)0,10.4m m --<⎧⎪⎨>⎪⎩而m≤12时方程才有实数根, ∴ 此种情况不可能. 综上所述,当m 的取值范围为m≤12且m≠0时,方程的两实根同号. 点评：存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,•反之则存在.【难题妙解】例1：已知：①a 2+2a-1=0,②b 4-2b 2-1=0且1-ab 2≠0,求(221ab b a++)2004的值。

3解析 由①知1+21a -21a =0, 即(1a )2-2·1a-1 =0,③ 由②知(b 2)2-2b 2-1=0,④∴1a,b 2为一元二次方程x 2-2x-1=0的两根.由韦达定理,得 1a +b 2=2, 1a·b 2=-1.∴221ab b a ++=[(1a+b 2)+ 2b a ]2004=(2-1)2004=1.点评：本题的关键是构造一元二次方程x 2-2x-1=0,利用韦达定理求解,•难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab 2≠0,而把a,-b 2看作方程x 2+2x-1=0的两根来求解. 例2： 已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0,求:(1)m 为何值时,•方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m 为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m 为何值时,•方程的两个根一个大于1,另一个小于1. 解析 (1)据题意知,m 应当满足条件⎩⎨⎧+=+=∆02m x x 02m 4-4m 212）（ 即 (1)(1)0,2.m m m -+>⎧⎨<-⎩由①,得m>2或m<-1, ∴ m <-2.(2)m 应当满足的条件是⎪⎩⎪⎨⎧+==+≥+=∆，，）（02m x x 0.-2m x x 02m 4-4m 21212即21,0,2.m m m m ≥≤-⎧⎪<⎨⎪>-⎩或∴-1.m 2-≤(3)m 应当满足的条件是21244(2)0,(1)(1)0.m m x x ⎧∆=-+>⎨--<⎩即21,2(2)10.m m m m ><-⎧⎨+--+<⎩或∴21,1.m m m ><-⎧⎨<-⎩或∴m <-1. 点评：若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解.【好题妙解】例 已知△ABC 的边长分别为a, b, c,且a>b>c,2b= a + c, b 为正整数,若a 2+b 2+c 2=84,求b 的值. 解析 依题设,有 a +c=2b, ① a 2+b 2+c 2=84. ②②可变为(a+c)2-2ac=84-b 2, ③①代入③,得 ac=25842b -, ④∴a、c 是关于x 的一元二次方程x 2-2bx+25842b -=0的两个不相等的正实数根.222584440,25840.2b b b ⎧-∆=-⨯>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩ 即16<b 2<28.又b 为正整数,故b=5. 点评：韦达定理的逆定理是:如果x 1,x 2满足x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a,那么x 1·x 2•是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a 2+b 2+c 2=84•转变为ac=25842b -,从而构造韦达定理逆定理所需的条件.再看看你能解下面的题吗？1、已知方程5x 2+kx －6=0的一个根是2，求另一根及k 值。

2、已知x 1、x 2是方程3x 2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p 、q 的值。

（1）x 1=1，x 2=2；（2）x 1=3，x 2=－6；（3）x 1=7，x 2=－7；（4）x 1=－2+3，x 2=－2－3。

53、设x 1、x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，求（x 1+1）（x 2+1）的值。

4、设x 1、x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，，利用根与系数的关系，求下列各式的值。

（1）x 12x 2+x 1x 22；（2）（x 1+21x ）（x 2+11x ）；（3）21x x -；（4）11x +21x ；（5）1221x x x x + 而在高中数学中，更是把韦达定理的应用扩充到复数的领域，其中在高二第二学期课本13.6 实系数一元二次方程中有这样一道题：例、已知方程210()x px p R -+=∈的两根为1x 、2x ，若121x x -=，求实数p 的值.分析：要求实数p 的值，即要利用已知条件121x x -=，从而应考虑1x 、2x 为实根还是虚根，因此，应对0∆≥和0∆<讨论. 解：方法一（书上解法）： （1）当时，或，即-2p 2p 04-p 2≤≥≥=∆，，24-p p x 24-p -p x 2221+== 4-p 24-p p -24-p -p x -x 22221=+=，由。

或，得5-p 5p 14-p 2=== （2）当时，，即2p 2-04-p 2 =∆，，2ip -4p x 2i p -4-p x 2221+== 。

222221p -4i p -42ip -4p -2i p -4-p x -x ==+= 由 3.-p 3p 1p -42===或，得 综上所述，3p 5p ±=±=或。

现在我们采用韦达定理来解答这道题看看：因为2222121212121()()44x x x x x x x x p =-=-=+-=-，所以p =或p =这样简单方便，并且可以避免对0∆≥与0∆<的讨论.同时把1可以拓展到正实数m 。

练习一下：1、若βαβα1103x 2x 2+=++的两个根，求是一元二次方程，；2、已知关于x 的方程）（R ∈=++m 0m 4x x 2的两个根为βα、，且2-=βα，求m 的值。

当然韦达定理在解析几何以及高次方程中有着重大作用，比如求弦长问题，函数图像问题等等，这里就不再具体谈了。

总而言之，韦达定理常用的几个公式： x 12+x 22=-（x 1+x 2）2－2x 1x 2，（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2， x 13+x 23=-（x 1+x 2）3－3x 1x 2（x 1+x 2），()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-，21212111x x x x x x +=+，()222121221222122212221211xx x x x x x x x x x x -+=+=+，()2121221212x x x x x x x x ++=+=+，（x 1+k ）（x 2+k ）=x 1x 2+（x 1+x 2）+k 2，()212122121222112212x x x x x x x x x x x x x x ++=+=+ 在方程论中有着广泛的应用，并且 ()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-在求弦长经常用到。

所以我们常常讲到要了解，懂得，掌握，然后能灵活运用所学知识， 这样才能真正的学好数学。

2009年5月。