数列
20．（本小题满分12分）
已知等差数列
{}
n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列
{}
n b 满足
n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。
（Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413<<n S 的n 的集合。
20．（本题满分12分）
数列11117
,,{}242
n n n n b b b T b +=
+=且为的前n 项和。
（1）求证：数列1
{}2
n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式；
（2）如果{}n b 对任意*
12,27(122)
n k
n N n n T ∈≥-+-不等式恒成立，求实数k 的取值
范围。
18．（本题满分12分）QQ 先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉．若黑鱼未被抓出, 则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）．
（1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率；
（2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ
QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()1
77
P ξ==
……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()616
67535
P ξ==⨯= ……4分
故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()11
66735
P P P ξξξ≥==+== ……6分
（2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为
64216(4)75335P ξ==⨯⨯= ………8分 ()6418
575335
P ξ==⨯⨯=………10分
所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分）
……………………11分 故416586675
535353535
E ξ⨯⨯⨯⨯=+++=，所求期望值为5． (12)
20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2．
∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1
212
2 中令n=1得：b 1=a 1=3，
又b 1+2b 2+ (2)
b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n
b n+1=（n+1）a n+1一na n ．
∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3，
∴n n n b 23
41+=
+， ∴)2(2
1
41≥-=-n n b n n ， …………5分
经检验，b 1=3也符合上式，所以数列{b n }的通项公式为1
2
1
4--=n n n b …………6分 （Ⅱ）S n =3+7·
21+…+（4n －1）·（2
1）n －1
， 21S n =3·21+7·（21）2+…+（4n 一5）·（21）n-1+（4n 一1）（2
1）n
．………8分
两式相减得：21S n =3+4[21+（21）2+…+（21）n-1]一（4n 一1）（21）n
，
∴21S n =3+4·n n n )21)(14(2
11]
)21(1[211-----，
∴S n =14一12
7
4-+n n ． …………10分
∴∀n∈N*，S<14．
∵数列{b n }的各项为正，∴S n 单调递增， 又计算得131627145<-
=S ，1332
31146>-=S ， 满足13<S n <14的n 的集合为{n |n≥6，n ∈N}．
20．解：（1）对任意*
N n ∈,都有11124n n b b +=
+，所以1111
()222
n n b b +-=-…………1分 则1{}2n b -成等比数列，首项为1132b -=，公比为1
2
…………2分
所以1
113()22
n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+…………4分
（2）因为111
3()22
n n b -=⨯+
所以2113(1)
111123(1...)6(1)1222222212
n n n n
n n n T --=+++++=+=-+-…………6分 因为不等式
1227(122)
n k n n T ≥-+-，化简得272n
n k -≥对任意*
N n ∈恒成立……7分 设272n n n c -=
，则1112(1)72792222
n n
n n n n n n
c c ++++----=-=…………9分 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列
4513
1632
c c =<=，所以，5n =时，n c 取得最大值332…………11分
所以，要使272
n
n k -≥对任意*
N n ∈恒成立，332k ≥…………12分。